題目：Luogu 3437

這是今天 SLYZ 考試的一道題，一道二維線段樹的入門題，慘的是我之前沒有寫過二維線段樹，更不知道什麽是標記用久化，於是自己 YY 出了標記永久化，但由於我十分的菜所以寫炸了。

如果按照普通線段樹的方法來做，發現外層的 x 樹是無法 pushdown 和 maintain 的，怎麽辦？

如果遇到無法下傳標記的情況，大概就要用到標記永久化了。

所謂標記永久化，就是不下傳標記，查詢時路過該節點，就加上這個節點的標記。

1. 如何省去 maintain 操作

用數組 val[ ] 來記錄一個節點的值。

在 update 之前，先 query 出將要更新的節點的原值，設變量 value 為這個原值加上要加的值，然後 update。

update 時，沿路用 value 更新路過的節點，每到達一個節點，val[cur] = max(val[cur], value);

這就相當於 maintain 的時候用左右兒子節點更新當前節點。

2. 如何省去 pushdown 操作

用數組 tag[ ] 記錄永久化的標記。

在 update 中，若到達了目標節點（Ql <= l && r <= Qr），需要用 value 更新當前節點的 tag，即 tag[cur] = max(tag[cur], value);

這一步有什麽用呢？

在 query 的時候，若路過一個節點，需要將它的 tag 加入計算。如下圖。

假如之前更新過 3 號和 5 號點，則 val[1]、val[2]、val[3]、val[5] 都有變動，並且 tag[1] 和 tag[3] 處有標記。

此時若要查詢 4 號點和 6 號點的值：

查詢 4 號點，由於 tag[1] 和 tag[2] 為空，所以答案為 val[4]；

查詢 6 號點，3 號點的標記按理說應該下傳，但我們不下傳，所以答案為 max(tag[3], val[6]);

詳見代碼。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <string>
 3 
 4 int read() {
 5
 
     int x = 0, f = 1;
 6     char c = getchar();
 7     while (!isdigit(c)) {
 8         if (c == ‘-‘) f = -1;
 9         c = getchar();
10     }
11     while (isdigit(c)) {
12         x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
13         c = getchar();
14     }
15     return x * f;
16 }
17 
18 int max(int x, int y) {
19     if (x >= y) return x; return y;
20 }
21 
22 const int N = 4005; int D, S;
23 
24 struct inNode {
25     int val[N], tag[N];
26     void update(int cur, int l, int r, int y1, int y2, int value) {
27         val[cur] = max(val[cur], value);
28         if (y1 <= l && r <= y2) {
29             tag[cur] = max(tag[cur], value);
30         } else {
31             int mid = l + ((r - l) >> 1);
32             if (y1 <= mid) update(cur << 1, l, mid, y1, y2, value);
33             if (mid < y2) update(cur << 1 | 1, mid + 1, r, y1, y2, value);
34         }
35     }
36     
37     int query(int cur, int l, int r, int y1, int y2) {
38         if (y1 <= l && r <= y2) return val[cur];
39         int mid = l + ((r - l) >> 1), res = tag[cur];
40         if (y1 <= mid) res = max(res, query(cur << 1, l, mid, y1, y2));
41         if (mid < y2) res = max(res, query(cur << 1 | 1, mid + 1, r, y1, y2));
42         return res;
43     }
44 };
45 
46 struct outNode {
47     inNode val[N], tag[N];
48     void update(int cur, int l, int r, int x1, int x2, int y1, int y2, int value) {
49         val[cur].update(1, 1, S, y1, y2, value);
50         if (x1 <= l && r <= x2) {
51             tag[cur].update(1, 1, S, y1, y2, value);
52         } else {
53             int mid = l + ((r - l) >> 1);
54             if (x1 <= mid) update(cur << 1, l, mid, x1, x2, y1, y2, value);
55             if (mid < x2) update(cur << 1 | 1, mid + 1, r, x1, x2, y1, y2, value);
56         }
57     }
58     
59     int query(int cur, int l, int r, int x1, int x2, int y1, int y2) {
60         if (x1 <= l && r <= x2) return val[cur].query(1, 1, S, y1, y2);
61         int mid = l + ((r - l) >> 1), res = tag[cur].query(1, 1, S, y1, y2);
62         if (x1 <= mid) res = max(res, query(cur << 1, l, mid, x1, x2, y1, y2));
63         if (mid < x2) res = max(res, query(cur << 1 | 1, mid + 1, r, x1, x2, y1, y2));
64         return res;
65     }
66 } tree;
67 
68 int main() {
69     D = read(), S = read(); int n = read(); ++ D, ++ S;
70     for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
71         int d = read(), s = read(), w = read(), 
72             x = read(), y = read(); ++ x, ++ y;
73         int tmp = tree.query(1, 1, D, x, x + d - 1, y, y + s - 1);
74         tree.update(1, 1, D, x, x + d - 1, y, y + s - 1, tmp + w);
75     }
76     printf("%d\n", tree.query(1, 1, D, 1, D, 1, S));
77     return 0;
78 }

淺顯易懂的標記永久化講解 && POI 2006 Tet-Tetris 3D | 二維線段樹