題目描述

　　一個二維平面上有\(n\)個梯形，滿足：

　　　所有梯形的下底邊在直線\(y=0\)上。

　　　所有梯形的上底邊在直線\(y=1\)上。

　　　沒有兩個點的坐標相同。

　　你一次可以選擇任意多個梯形，必須滿足這些梯形兩兩重疊，然後刪掉這些梯形。

　　問你最少幾次可以刪掉所有梯形。

　　\(n\leq {10}^5\)

題解

　　先把坐標離散化。

　　定義\(A\)為所有梯形組成的集合。

　　我們定義\(A\)上的嚴格偏序：兩個梯形\(a<b\)當且僅當\(a\)與\(b\)不重疊且\(a\)在\(b\)的左邊。

　　那麽每次刪掉的矩形就是一條反鏈。

　　所以這道題求的是最小反鏈覆蓋。

　　根據Dilworth定理的對偶定理，有：最小反鏈覆蓋數\(=\)最長鏈長度

　　所以我們只用求最長鏈長度就好了。

　　這個東西可以DP做。
\[ f_i=\max_{a12j<a11i,a22j<a21i}f_j+1 \]
　　\(a11,a12,a21,a22\)分別代表一個梯形的上底邊的兩個端點的橫坐標，下底邊的兩個端點的橫坐標

　　可以把所有梯形按\(a11\)排序，維護一個以\(a12\)為關鍵字的堆，把隊中的元素取出以\(a22\)位置，\(f_j\)為值插入到樹狀數組中，然後在樹狀數組中查詢答案。

　　時間復雜度：\(O(n\log n)\)

代碼

#include<cstdio>
 

#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<utility>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
struct p
{
    int a11,a12,a21,a22;
};
p a[100010];
int cmp(p a,p b)
{
    return a.a11<b.a11;
}
int
 
 f[100010];
int c[100010];
int m=0;
int d[200010];
void add(int x,int v)
{
    for(;x<=m;x+=x&-x)
        c[x]=max(c[x],v);
}
int query(int x)
{
    int s=0;
    for(;x;x-=x&-x)
        s=max(s,c[x]);
    return s;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
#endif
    int n,i;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&a[i].a11,&a[i].a12,&a[i].a21,&a[i].a22);
        d[++m]=a[i].a21;
        d[++m]=a[i].a22;
    }
    sort(d+1,d+m+1);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].a21=lower_bound(d+1,d+m+1,a[i].a21)-d;
        a[i].a22=lower_bound(d+1,d+m+1,a[i].a22)-d;
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    int ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        q.push(pii(a[i].a12,i));
        while(!q.empty()&&q.top().first<a[i].a11)
        {
            pii x=q.top();
            q.pop();
            add(a[x.second].a22,f[x.second]);
        }
        f[i]=query(a[i].a21)+1;
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

【XSY2727】Remove Dilworth定理 堆 樹狀數組 DP