這道題的數位dp是很顯然的。然而，本題不僅要計數還要保證最優化，這使得我們難以得到一個簡單的dp狀態表示方式。

遺憾的是考慮dp狀態數的直接減少是一個錯誤的思考方向。本人在此浪費了幾個小時的時間。

註意到雖然是最優化，但決策數是非常少的，僅有O(logn)級別。同時，我們可以很容易地判斷一個解是不是最優的。

於是，我們可以枚舉最終合並到哪一位，然後就很容易了，本人是維護滿足這個條件的數的個數和答案的和，這裏就不詳細講了。

最後一個問題在於一個數可能在多個位置都是決策最優的。註意到它的充要條件是選擇的那一位（設值為x）左右兩邊sum的差為0或x，於是只要在判斷時把閉區間改成半閉半開區間就可以了。

這數位和為sum，則時間復雜度為O(log²n*sum*k)。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 typedef pair<ll,ll> pll;
 5 const int N = 55, SUM = 250, K = 25;
 6 ll dp[N][SUM][K],l,r,su[N][SUM][K];
 7 int num[N],cur,k,cnt;
 8 pll dfs(int pos,int sum,int val,bool
 
 lim) {
 9   if (pos == 0) return pll(sum <= 2 * val,0);
10   if ((!lim) && (~dp[pos][sum][val]))
11     return pll(dp[pos][sum][val],su[pos][sum][val]);
12   ll ta = 0, tb = 0;
13   pll tmp;
14   for (int i = 0 ; i <= (lim ? num[pos] : k-1) ; ++ i) {
15     if (pos < cur && sum - i <= 0
 
) break;
16     tmp = dfs(pos-1,pos < cur ? sum-i : sum+i,pos == cur ? i : val,lim && (i == num[pos]));
17     ta += tmp.first;
18     tb += tmp.second + tmp.first * abs(pos-cur) * i;
19   }
20   if (!lim) {
21     dp[pos][sum][val] = ta;
22     su[pos][sum][val] = tb;
23   }
24   return pll(ta,tb);
25 }
26 ll solve(ll x) {
27   ll res = 0;
28   cnt = 0;
29   while (x) num[++cnt] = x%k, x /= k;
30   for (cur = 1 ; cur <= cnt ; ++ cur) {
31     memset(dp,-1,sizeof dp);
32     memset(su,-1,sizeof su);
33     res += dfs(cnt,0,0,1).second;
34   }
35   return res;
36 }
37 int main() {
38   scanf("%lld%lld%d",&l,&r,&k);
39   printf("%lld\n",solve(r) - solve(l-1));
40   return 0;
41 }

小結：對於難維護的東西，可以通過添加額外信息來完成。

【做題】方伯伯的商場之旅——枚舉決策