Trie樹是字符串問題中應用極為廣泛的一種數據結構，可以拓展出AC自動機、後綴字典樹等實用數據結構。

然而在此我們考慮0-1 Trie的應用，即在序列最大異或問題中的應用。

這裏的異或是指按位異或。按位異或有很多重要的性質。比如可拆分性，每個位可以進行單獨處理後線性合並得到最終結果。

同時按位異或也是可減的。比如0111 ^ 1010 = 1101, 那麽 1101 ^ 1010 = 0111. 證明從略。

首先我們考慮0-1 Trie的版本，也就是

給定一個序列a[i], 每次詢問一個數x與a[i]中各元素能得到的按位異或的最大值。

暴力自然是O(n^2)的。但是我們想到之前的可拆分性，是否能將每個位單獨考慮？但是，第一位的選擇又會限定第二位的選擇範圍。即選擇第一位是0或1後，第二位的選擇就不能從a[i]中的所有元素中進行選擇，而要將a[i]分為兩份。我們很容易發現這是一個類似樹形的問題，所以我們考慮使用樹形數據結構。而鑒於多個串根據前綴進行選擇性劃分的特點，我們使用Trie樹來從高位到低位地維護這些0-1串，即0-1 Trie。

註意到這種從高位到低位的選擇一定是全局最優的。也就是說，對於異或結果，從高到低考慮，每一位能設成1就設成1. 證明可以利用反證法。

這樣我們就利用一個貪心完成了這樣的事情。這樣的處理是O(n+m)的（常數有32倍）

什麽時候需要使用可持久化0-1 Trie呢？我們想，在使用可持久化線段樹維護區間K大值得時候，可持久化是否起到了限定區間的作用？同理，在這裏，我們也是用可持久化來實現區間的限定。

重要性質：Trie樹的節點存在性滿足可減性。

我們可以把節點的存在性記錄改為節點的數目記錄，這樣用root[r]中某節點的數目減去root[l-1]中某節點的數目，就可以得到區間中是否存在某個節點。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int ch[1000005][2],val[1000005],cnt[1000005],root[1000005],ts[105],ind,n,m;
 5 
 6 void insert(int p,int p0,int dep) {
 7     ch[p][0]=ch[p0][0];
 8     ch[p][1]=ch[p0][1];
 9     if(dep==30) return;
10     if(ch[p0][ts[dep+1]]==0) {
11         ch[p][ts[dep+1]]=++ind;
 
12         val[ind]=ts[dep+1];
13         cnt[ind]=1;
14         insert(ind,ch[p0][ts[dep+1]],dep+1);
15     }
16     else {
17         ch[p][ts[dep+1]]=++ind;
18         val[ind]=ts[dep+1];
19         cnt[ch[p][ts[dep+1]]]=cnt[ch[p0][ts[dep+1]]]+1;
20         insert(ch[p][ts[dep+1]],ch[p0][ts[dep+1]],dep+1);
21     }
22 }
23 
24 void trie_insert(int rtx,int num) {
25     for(int i=1;i<=30;i++)
26         ts[i]=(num>>(30-i))&1;
27     insert(root[rtx],root[rtx-1],0);
28 }
29 
30 int xormax(int rtx,int rty,int num) {
31     int p=root[rtx], q=root[rty], ans=0;
32     for(int i=29;i>=0;i--) {
33         if((num>>i)&1) {
34             if(cnt[ch[q][0]]-cnt[ch[p][0]]) ans=ans*2+1, p=ch[p][0], q=ch[q][0];
35             else ans=ans*2, p=ch[p][1], q=ch[q][1];
36         }
37         else {
38             if(cnt[ch[q][1]]-cnt[ch[p][1]]) ans=ans*2+1, p=ch[p][1], q=ch[q][1];
39             else ans=ans*2, p=ch[p][0], q=ch[q][0]; 
40         }
41     }
42     return ans;
43 }
44 
45 int main() {
46     cin>>n;
47     for(int i=1;i<=n;i++) {
48         int t;
49         cin>>t;
50         root[i]=++ind;
51         trie_insert(i,t);
52     }
53     cin>>m;
54     for(int i=1;i<=m;i++) {
55         int t1,t2,t3;
56         cin>>t1>>t2>>t3;
57         t1--;
58         cout<<xormax(t1,t2,t3)<<endl;
59     }
60 }

可持久化0-1 Trie 簡介