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定義\(k\)-bonacci數列\(\{F_n\}\)：\(F_i=0 \ (i<k),F_i=1 \ (i=k),F_i=\sum_{j=i-k}^{i-1}F_j\)
給出\(s(s\leq10^9)\)和\(k(k\leq10^9)\)，將\(s\)拆成若幹個\(k\)-bonacci數之和。

Solution

結論：重復從\(s\)中減掉最大的\(F_i\)，一定能使\(s=0\)。

可以用數學歸納法證明。
若對於正整數\(k\)，\(\forall s\in [0,F_k-1]\)該結論成立，則\(\forall s\in [F_k,F_{k+1}-1]\)

，其下最大的\(F_i\)為\(F_k\)，而\(s-F_k\in [0,F_{k-1}-1]\)，其必然也能按上述方法減至0。
而因為\(k=1\)時該結論成立，所以\(\forall s\)該結論均成立。

Code

//Well-known Numbers
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int const N=1e5+10;
long long f[N];
int n,m,ans[N];
int main()
{
    int s,k; scanf("%d%d",&s,&k);
    int
 
 n; f[1]=1;
    for(n=2;f[n-1]<s;n++)
        for(int j=max(1,n-k);j<=n-1;j++) f[n]+=f[j];
    int m=0;
    for(int i=n-1;i>=1&&s;i--) if(f[i]<=s) ans[++m]=f[i],s-=f[i];
    if(m<2) ans[++m]=0;
    printf("%d\n",m);
    for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",ans[i]);
    puts("");
    return
 
 0;
}

P.S.

看標簽猜結論系列binary search greedy number theory。不過根本不需要binary search啊！

Codeforces225B - Well-known Numbers