Petrozavodsk Summer Training Camp 2017

Problem A. Connectivity

題目描述：有\(n\)個點，現不斷地加邊。每條邊有一種顏色，如果一個點對\((a, b)\)，滿足\(a=b\)或對於每一種顏色的子圖（圖中只有該種顏色的邊），\(a, b\)總是連通，則該點對稱為好連通。求出每加一條邊，好連通的點對數。

solution
每個子圖用並查集維護連通塊，並且用\(vector\)記錄每個連通塊的點，便於之後進行答案的統計，合並時啟發式合並即可。
每種顏色生成一個\(hash\)值，每個點記錄一個\(hash\)值，表示在每個子圖中是屬於哪個並查集，若兩個點的\(hash\)

時間復雜度：\(O(mlogn)\)（常數比較大）

Problem B. Hotter-colder

Problem C. Painting

題目描述：有連續\(n\)個，每個點開始時都沒有顏色，現在每次選擇一個連續的區間，然後將這個區間塗成一種顏色，使得最終變成目標的樣子。顏色有\(m\)種，每種顏色至少出現一次，塗色也只能塗\(m\)次，每次塗色的花費為區間長度。問總花費的最大值。

solution
可以先預處理出每種顏色的最小塗色區間，由於數據的特殊性，這些區間是不相交的，只可能是相離或包含。這樣就可以按嵌套關系將區間分成很多層，必須先塗外層，再塗內層。對於同一層的區間，再分成很多段，每一段是連續的相鄰的區間，每一段用\(dp\)

時間復雜度：\(O(n^2)\)

Problem D. Ones

題目描述：定義一種1-expressions \(E ::= 1 | E+E | E*E | (E+E) | (E*E)\)，給出一個數\(k\)，用一個不多於\(100\)個\(1\)的表達式，使得答案為\(k\)。

solution
偶數時除於二，奇數時減一。

時間復雜度：\(O(logk)\)（每次詢問）

Problem E. Seats

Problem F. Ants

Problem G. Permutation

題目描述：給出一個\(n\)排列\(p_i\)，將其分成兩個子序列，使得一個子序列遞增，另一個遞減。或無解。

solution
貪心。假設枚舉到第\(i\)個數，如果\(p_i\)小於遞增序列最後一個數，則扔進遞減序列，若大於遞減序列最後一個數，則扔進遞增序列，若兩個條件都滿足，則無解。如果是介於兩者之間，則考慮\(p_{i+1}\)，若\(p_{i+1}>p_i\)，則扔進遞增序列，否則扔進遞減序列。

時間復雜度：\(O(n)\)（每次詢問）

Problem H. Primes

題目描述：定義\(\pi (x, y)\)表示能同時整除\(x, y\)的質數個數。給出\((a, b)\)，求出\(\sum_{a \leq x < y \leq b} \pi(x, y)\)

solution
答案為\(\sum_{d} \left \lfloor \frac{b}{d} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{a-1}{d} \right \rfloor\)，\(d\)為質數。然後其實對於不同的\(d\)，裏面的值也可能一樣，可以將值一樣的\(d\)一起算，也就是跳著跳著算。

時間復雜度：\(O(log^2n)\) （每次詢問）

Problem I. Vertex covers

Problem J. Scheduling

題目描述：有\(m\)個線程，有\(n\)個需要執行的程序，每個程序需要在時刻\(p_i\)到\(k_i\)內執行，執行時間為\(c_i\)，每條程序可以隨意暫停，跳轉線程，但同一線程同一時刻只能執行一條程序。問是否能執行所有程序。

solution
將時刻拆分成若幹個區間，每個區間連向匯點，流量為區間長度，每個程序連向源點，流量為程序的執行時間，然後每個程序連向所在的區間。跑一遍網絡流就可以了。

時間復雜度：\(O(n^2m)\)

Problem K. Shufe

題目描述：有\(2^n\)張牌，有一種洗牌的方法：1、如果只有兩張牌，則交換它們。2、將牌分成上下兩堆，交換兩堆牌，然後每堆牌遞歸操作。問洗\(t\)次牌後的順序。

solution
顯然，洗一次牌後所有牌會調轉，再洗一次就會變回原樣。

時間復雜度：\(O(2^n)\)

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