YY的GCD

原題鏈接

這應該是我做的第一道莫比烏斯反演的題目。

題目描述

• 神犇YY虐完數論後給傻×kAc出了一題
• 給定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)為質數的(x, y)有多少對
  kAc這種傻×必然不會了，於是向你來請教……
• 多組輸入

輸入輸出格式

輸入格式：

• 第一行一個整數T 表述數據組數
• 接下來T行，每行兩個正整數，表示N, M

輸出格式：

• T行，每行一個整數表示第i組數據的結果

說明

• T=10000，N, M <= 10000000

解題思路

• 顯然，題目要求的$Ans$實際上就是$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(x,y)=prim]$的值
• 接下來，我們就開始進行歡樂的推式子了
• 對於這種與$gcd$有關的莫比烏斯反演，一般我們都是套路的去設$f(d)$為$gcd(i,j)=d$的個數，$F(n)$為$gcd(i,j)=d$和$d$的倍數的個數，即：
  $$f(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]$$
  $$F(n)=\sum_{n|d}f(d)=\lfloor\frac{N}{n}\rfloor\lfloor\frac{M}{n}\rfloor$$
  $$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\lfloor\frac{d}{n}\rfloor)F(d)$$
• 這樣，我們便可以開心的化簡這個式子了！
  
  $$Ans=\sum_{p\in prim}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=p]$$
  將$f(p)$帶入得：
  $$Ans=\sum_{p\in prim}f(p)$$
  然後就莫比烏斯反演一下
  $$Ans=\sum_{p\in prim}\sum_{p|d}\mu(\lfloor\frac{d}{p}\rfloor)F(d)$$
  我們換一個枚舉項，我們枚舉$\lfloor\frac{d}{p}\rfloor$
  $$Ans=\sum_{p\in prim}\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)F(dp)=\sum_{p\in prim}\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\lfloor\frac{n}{dp}\rfloor\lfloor\frac{m}{dp}\rfloor$$
  
  這個$dp$一看就很不爽，於是我們把它換成$T$
  $$Ans=\sum_{T=1}^{min(n,m)}\sum_{t|T}\mu(\lfloor\frac{T}{t}\rfloor)\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor$$
  $$Ans=\sum_{T=1}^{min(n,m)}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor(\sum_{t|T}\mu(\lfloor\frac{T}{t}\rfloor))$$
  推到這裏，我們就可以開始做了。如果是單組詢問，我們就直接$O(n)$做。(不過好像一般這種題，都不會讓你直接處理。)如果是多組數據的話，我們就只要在打一個簡單的整除分塊就可以了。後面的$\mu$函數可以線篩出來。由於整除分塊的緣故，我們就只需要記一個前綴和就可以了。
• 下面貼一個完整的代碼吧。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10000100
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
    x=0;
    static int p;p=1;
    static char c;c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')p=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(c-48);c=getchar();}
    x*=p;   
}
inline void print(long long x)
{
    static int cnt;
    static int a[15];
    cnt=0;
    do
    {
        a[++cnt]=x%10;
        x/=10;
    }while(x);
    for(int i=cnt;i>=1;i--)putchar(a[i]+'0');
    puts("");
}
bool vis[N];
long long mu[N],sum[N],g[N],prim[N];
int cnt;
void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]){mu[i]=-1;prim[++cnt]=i;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;
            else mu[prim[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
    for(int j=1;j<=cnt;j++)
        for(int i=1;i*prim[j]<=n;i++)g[i*prim[j]]+=mu[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+g[i];
}
int n,m;
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("P2257.in","r",stdin);
    freopen("P2257.out","w",stdout);
#endif
    int t;
    read(t);
    get_mu(10000000);
    while(t--)
    {
        read(n);read(m);
        if(n>m)swap(n,m);
        static long long ans;ans=0;
        for(long long l=1,r;l<=n;l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=(n/l)*(m/l)*(sum[r]-sum[l-1]);
        }
        print(ans);
    }
    return 0;
}

洛谷【P2257】YY的GCD