今天講了矩陣……就總結一下好了

http://blog.csdn.net/tomorrowtodie/article/details/52311373

http://www.matrix67.com/blog/archives/276 矩陣經典例題

很多內容來自學姐課件

矩陣

啥是矩陣？這個很好懂吧？

（不懂我也沒辦法）

大體就長這樣

矩陣乘法

蛤？兩個矩陣怎麽做乘法？並不是所有矩陣都能做乘法的。

只有n行p列的矩陣和p行m列的矩陣才可以相乘。

相乘完就是一個n*m的矩陣嘍。

就這樣子。左邊的每一行分別去和右邊的每一列相乘，然後取和

比如取了左邊的第二行和右邊的第一列相乘

那麽他們的和就應該放在結果的第二行第一列上。

代碼如下：

1 for (int i=1;i<=n;++i)
2     for (int j=1;j<=m;++j)
3         for (int k=1;k<=p;++k)
4             c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];

代碼是不是看起來很水？理解了就很好懂了……

WARNING!

矩陣乘法不滿足交換律！即A*B!=B*A

但矩陣乘法滿足結合律！即A*B*C=A*(B*C)

矩陣乘法的應用

恩……說了這麽多矩陣乘法究竟該怎麽用呢？

FIRST 矩陣乘法優化DP

這可能是矩陣乘法用的最多的地方了吧……

舉個栗子

求Fibonacci數列第n項的值

n<=10¹⁸

數據這麽大要是一步步安穩遞推我們怕不是要TLE到飛起

那就走個捷徑好了

快速冪！

……

哎等等不是應該用矩陣乘法嗎

如圖

哎這樣是不是就能做了？

先給上式中第二個矩陣命名為P，給矩陣[F[2],F[1]]命名為A

那麽[F[3],F[2]]就可以用矩陣A*P計算得出。同理

若求F[10]就可以A*P⁸，而P⁸我們就可以用快速冪求了

復雜度為log級別。模板如下：

 1 struct Mar
 2 {
 3     int a[N][N];
 4 } unit, A,ans;
 5 //PS這裏的unit為單位矩陣，即左上角到右下角對角線為1的矩陣，它有一個性質，即為任何矩陣乘上單位矩陣都為本身
 6 Mar Mul(Mar a, Mar b)//矩陣乘法
 7 {
 8     Mar ans;
 9     memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
10     for (int k=1; k<=n; ++k)
11         for (int i=1; i<=n; ++i)
12             for (int j=1; j<=n; ++j)
13                 ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%Mod;
14     return ans;
15 }
16 Mar Qpow(Mar a,int p)//矩陣快速冪
17 {
18     Mar ans=unit;//相當於快速冪中的初始化為1
19     while (p!=0)
20     {
21         if (p&1)
22             ans=Mul(ans,a);
23         a=Mul(a,a);
24         p>>=1;
25     }
26     return ans;
27 }

練習

已知遞推式F(n)=2*F(n-1)+3*F(n-2)，求F(n)

已知遞推式F(n)=F(n-1)+3*F(n-2)+4*F(n-4)，求F(n)

已知遞推式F(n)=sigma(i=1..10)a[i]*F(n-i)，讀入a[i]數組，求F(n)

BZOJ1898 沼澤鱷魚

(核心：12為一個周期)

SECOND 圖的鄰接矩陣+矩陣乘法

？？？？

這是個啥玩意兒？

構造無向圖的鄰接矩陣G

G*G以後得到一個什麽東西？ (GG)

可發現

如果(i,j)=1並且(j,k)=1

那麽G*G的(i,k)+=1

經過了兩條邊！

G^k 即為經過了k條邊，

可以擴展到有向圖

若想要可以在一個點停留

如果不允許走回頭路呢？

對於一個無向圖，我們可以將邊變為點，若從能點a經過邊i到b，再從點b經過邊j到c，那麽就化邊為點，設i，j兩邊可以相互抵達，用鄰接矩陣存即可，類似上面的不能在一個點停留。

例：BZOJ1875 HH去散步

矩乘DP的特點？

一般看到那種某個限制的範圍非常小的就可以考慮一下矩乘

但是也有可能是狀壓

如果一個限制非常小，一個限制非常大，那基本上就是矩乘了

long long 太慢了！

少取模！

學習筆記：矩陣