題目描述

對於Fibonacci數列：1,1,2,3,5,8,13......大家應該很熟悉吧~~~但是現在有一個很“簡單”問題：第n項和第m項的最大公約數是多少？

輸入輸出格式

兩個正整數n和m。（n,m<=10^9）

註意：數據很大

Fn和Fm的最大公約數。

由於看了大數字就頭暈，所以只要輸出最後的8位數字就可以了。

輸入輸出樣例

4 7

1

說明

用遞歸&遞推會超時

用通項公式也會超時

Solution：

　　本題其實並不難，開始被題意嚇到了，結果後面寫出了式子都沒看出來（手動滑稽～）。

　　方法：結論+矩陣加速

　　結論：$$gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]$$

　　證明：

　　我們設$n<m$，$F[n]=a$和$F[n+1]=b$。

　　則$F[n+2]=a+b,F[n+3]=a+2b,…F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b$

　　$\because \quad$ $F[n]=a,F[n+1]=b,F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b$

　　$\therefore \quad$ $F[m]=F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1]$

　　又$\because \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1])$

　　而$F[n]|F[m-n-1]*F[n]$

　　$\therefore \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]*F[n+1])$

　　引理：$gcd(F[n],F[n+1])=1$

　　　證：由歐幾裏德定理知

　　　　　$gcd(F[n],F[n+1])=gcd(F[n],F[n+1]-F[n])$

$=gcd(F[n],F[n-1])$

　　　　　　　　　　　　$=gcd(F[n-2],F[n-1])$

　　　　　　　　　　　　$……$

　　　　　　　　　　　　$=gcd(F[1],F[2])=1$

　　　　 $\therefore \quad$ $gcd(F[n],F[n+1])=1$

　　由引理知：

　　$F[n],F[n+1]$互質

　　而 $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]*F[n+1])$

　　$\therefore \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n])$

　　即$gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m\;mod\;n])$

　　繼續遞歸，將$m1=m\;mod\;n$，則$gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n\;mod\;m1],F[m1])$

　　$…$

　　不難發現，整個遞歸過程其實就是在求解$gcd(n,m)$

　　最後遞歸到出現$F[0]$時，此時的$F[n]$就是所求gcd。　

　　$$\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]$$

　　於是本題就轉為求$gcd(n,m)$，然後求斐波拉契數列的$F[gcd(n,m)]$項後8位（即對100000000取模）。

　　至於矩陣的構造：

　　初始矩陣 \begin{bmatrix} F[2]=1 & F[1]=1\end{bmatrix} 以及中間矩陣 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

代碼：

 1 // luogu-judger-enable-o2
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define ll long long
 5 #define mem(p) memset(&p,0,sizeof(p))
 6 using namespace std;
 7 const ll mod=1e8;
 8 ll n,m;
 9 struct mat{ll a[3][3],r,c;};
10 il mat mul(mat x,mat y)
11 {
12     mat p;
13     mem(p);
14     for(int i=0;i<x.r;i++)
15         for(int j=0;j<y.c;j++)
16             for(int k=0;k<x.c;k++)
17     p.a[i][j]=(p.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
18     p.r=x.r,p.c=y.c;
19     return p;
20 }
21 il void fast(ll k)
22 {
23     mat p,ans;
24     mem(p),mem(ans);
25     p.r=p.c=2;
26     p.a[0][0]=p.a[0][1]=p.a[1][0]=1;
27     ans.r=1,ans.c=2;
28     ans.a[0][0]=ans.a[0][1]=1;
29     while(k)
30     {
31         if(k&1)ans=mul(ans,p);
32         p=mul(p,p);
33         k>>=1;
34     }
35     cout<<ans.a[0][0];
36 }
37 il ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
38 int main()
39 {
40     ios::sync_with_stdio(0);
41     cin>>n>>m;
42     n=gcd(n,m);
43     if(n<=2)cout<<1;
44     else fast(n-2);
45     return 0;
46 }

P1306 斐波那契公約數