花了大概3天時間，了解，理解，推理KMP算法，這裏做一次總結！希望能給看到的人帶來幫助！！

1.什麽是KMP算法？

在主串Str中查找模式串Pattern的方法中，有一種方式叫KMP算法

KMP算法是在模式串字符與主串字符匹配失配時，利用已經匹配的模式串字符子集的最大塊對稱性，讓模式串盡量後移的算法。

這裏有3個概念：失配，已經匹配的模式串子集，塊對稱性

失配和隱含信息

在模式串的字符與主串字符比較的過程中，字符相等就是匹配，字符不等就是失配；

隱含信息是，失配之前，都是匹配。

在主串S[0，100]中查找模式串P[0，6]，從下標0開始查找，在下標為5的位置失配，記為P[0，5]失配，則有

P[5]!=S[5]，又有S[0，4]=P[0，4]

則P[0,4]都是匹配的！

已經匹配的模式串子集

接上一例，模式串是P[0，6]，而P[0，4]都是匹配的，所以，已經匹配的模式串子集有

Pcs={ P[0，4]，P[0，3]，P[0，2]，P[0，1]，P[0] }

2.塊對稱性

什麽是塊對稱性？

塊對稱性，就是字符串前綴，後綴重疊；

比如： a b c d a b c

前綴：除了最後一個字母外，所有的前綴子集；

如： a，ab，abc，abcd，abcda，abcdab

後綴：除了第一個字母外，所有的後綴子集

如： bcdabc，cdabc，dabc，abc，bc，c

這裏前綴abc和後綴abc重合

可以把這個重合看做，相對於綠塊對稱，所以叫它塊對稱性

塊對稱有很多種；比如：

咦？大家都在一水平排，怎麽有一個飛起來了？

飛起來那個將在利用最大快對稱性 小節講解。

塊有什麽特點？

特點：擁有塊對稱性的字符串至少有2塊對稱重合的的部分；

分析，對稱是修飾，重合是關鍵。而且重合的是前綴和後綴。

如何利用塊對稱性？

模式串如圖，如果模式串和主串Str匹配的過程中，在l這失配即P[0，7]失配，你會怎樣？

分析，

第一，模式串的P[0，6]和主串放入S[0，6]是完全匹配的

第二，P[0，6]串是塊對稱的！

因為P[0，6]剛好有塊對稱性，我可以把前綴abc移動到後綴abc的位置，然後讓d與主串去匹配，這樣就利用快對稱性了對吧？

總結，可以在P[7]失配時，看失配字符的最大前綴P[0，6]是否有塊對稱性，如果有，我們就可以向右移動模式串，讓左邊的重合前綴移動到右邊的重合後綴，再讓模式串和主串比較！

利用最大塊對稱性？什麽意思？

什麽是KMP算法小節裏，說KMP是在模式串與主串匹配失配時，利用已經匹配的模式串子集的最大塊對稱性，盡量讓模式串右移！這裏的利用最大塊對稱性是什麽意思？

這裏利用最大塊對稱性意味著可能發生遞歸！

把上個案例的d換成k，如下圖：

KMP算法會預先計算出模式串所有前綴子集中哪些前綴有塊對稱性，在這些有塊對稱性的前綴的後一個字符失配時，利用其塊對稱性；

比如本例中P[0，6]有塊對稱性，那麽在P[0，7]也就是l失配時，

會先利用P[0，6]的塊對稱性，即P[0，2]和P[4，6]相遇於字符P[3]塊對稱，

如果不行，會看P[0，2]塊對稱重合的部分有沒有塊對稱性，

有，就利用；以此類推，一直遞歸到沒有塊對稱性為止。

塊對稱長度的意義-編程

第一次移動中，3是什麽？塊對稱重合長度，也是下次開始比較的位置！

第二次移動中，1是什麽？塊對稱重合長度，也是下次開始比較的位置！

3.next數組推導-計算塊對稱性

單獨的塊對稱性是沒有意義的，塊對稱性必須結合上失配，才能利用塊對稱性！

所以，應該計算出Pattern所有前綴子集失配時的塊對稱性！放到一個叫next[]數組的地方！

如何計算呢？

next數組是計算失配時的塊對稱性，

當第1個字符失配時，壓根就沒有前綴後綴的說法，所以有next[0]是不存在塊對稱性的，記為next[0]=-1；

當第2個字符失配時，它的子集只有1個字符，也是沒有前綴後綴，沒有塊對稱性，所以記為next[1]=0；

再看圖，對於值k，已有p0 p1, ..., pk-1 = pj-k pj-k+1, ..., pj-1，則有next[j] = k。

next[j] = k代表了什麽呢？

代表在Pj之前，有長度為k的塊對稱性，有2個長度為k的重合部分。

總結一下，前提條件如下：

條件1.next[0]是不存在的，next[1]=0；

條件2.對於下標值k，已有p0 p1, ..., pk-1 = pj-k pj-k+1, ..., pj-1，則有next[j] = k。

next[]數組是從0開始被初始的，如果我們能推導出next[j+1] = 什麽，是不是就可以計算出next[]數組？ 是吧

下面來推導next[j+1]

已知：

p0 p1, ..., pk-1 = pj-k pj-k+1, ..., pj-1，==》 next[j] = k

如果pk與pj匹配，

則有p0 p1, ..., pk-1,pk = pj-k pj-k+1, ..., pj-1pj，==》 next[j+1] = k+1;

原來有2個長度為k的對稱重合部分，pk與pj匹配後，2個長度為k對稱重合的部分又有了1對字符重合，所以有next[j+1]=k+1；

再看圖，next[j]=k，當pj失配時，下一次用pk去和主串匹配；所以next[j]的實際意義是，當pj失配時，下一次應該用哪個字符去和主串匹配！！

條件3.next[ ]數組的值就是當次失配時，下一次匹配的位置！

如果pk與pj不匹配，next[j+1]=?

next[j+1]的實際意義是，p[0，j+1]的pj+1失配時，p[0，j]的塊對稱重合長度，也是下一次匹配時應該用模式串的哪個字符與主串匹配，哪個字符的下標就是next[j+1]。

具體詳參塊對稱長度的意義-編程

下一次用哪個字符比較呢？

設a1=p0 p1,...,pk-1，a2=pj-k pj-k+1,...,pj-1；a1==a2

當pk與pj不匹配時，不能用a1替換a2，如圖綠叉；

因為a2是離與主串最近的部分，所以這時候應該分析a2是否有塊對稱性，

如果a2有塊對稱性，那麽a1也有塊對稱性，如圖綠框；

所以，這時應該分析p[0，k]的塊對稱性，也就是next[k]。

設x1與x2關於綠框對稱；

x3與x4關於綠框對稱；

那麽把x1移動到x4的位置，是不是就可以最大利用上；

所以next[j+1]=next[k]；

總結一下

If ( p[k] == p[j] ) next[j+1]=k+1

else next[k+1]= next[k]

4.參考文獻

https://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7041827

http://www.codeceo.com/kmp-next-array.html

https://www.zhihu.com/question/21474082 next數組推導

https://blog.csdn.net/yearn520/article/details/6729426 next數組推到原則

https://www.xahkbg.com/

KMP中，計算目標查詢串T的next[]數組是關鍵；

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24274982

https://blog.csdn.net/yearn520/article/details/6729426

http://www.cnblogs.com/c-cloud/p/3224788.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24649304

什麽是KMP算法？KMP算法推導