先上一道題目：

題目描述

如題，已知一個數列，你需要進行下面兩種操作：

1. 將某一個數加上x

2. 求出某區間每一個數的和

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行包含兩個整數N、M，分別表示該數列數字的個數和操作的總個數。

第二行包含N個用空格分隔的整數，其中第i個數字表示數列第i項的初始值。

接下來M行每行包含3個整數，表示一個操作，具體如下：

操作1： 格式：1 x k 含義：將第x個數加上k

操作2： 格式：2 x y 含義：輸出區間[x,y]內每個數的和

輸出格式：

輸出包含若幹行整數，即為所有操作2的結果。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

輸出樣例#1：

14
16

說明

時空限制：1000ms,128M

數據規模：

對於30%的數據：N<=8，M<=10
對於70%的數據：N<=10000，M<=10000
對於100%的數據：N<=500000，M<=500000

想暴力過？不存在的（底層優化不敢說）。於是，我們需要一種數據結構來進行優化。

樹狀數組

如果我們有一個數組\(a\)，我們可以構造一個數組\(C\),使\(C[i]=a[i-2^k+1]+\cdots+a[i]\)，\(k\)為\(i\)在二進制下末尾\(0\)的個數。

這其實是一個絕妙的想法，因為\(x\)對應的\(2^k\)是十分好求的，我們稱求\(2^k\)的函數為lowbit：

inline LL lowbit(LL x)
{
    return x&(-x);
}

為什麽呢？

首先，我們先來看看什麽是補碼：

一個數字的補碼就是將該數字作比特反相運算（即反碼），再將結果加1。在補碼系統中，一個負數就是用其對應正數的補碼來表示。
如:+8是00001000，而-8就是~8+1=11110111+1=11111000

如果\(x\)的二進制位末尾有\(k\)個\(0\)，那麽在取時，它們都會變成\(1\)，加\(1\)之後，又都變成了\(0\)。又因為\(x\)的二進制位末尾只有\(k\)個\(0\)，故第\(k+1\)位一定是\(1\)，取反後變成\(0\)，加\(1\)後，由於進位，又變成了\(1\)

其實，C數組就是一棵樹狀數組。

樹狀數組的結構如下圖所示：

單點修改

代碼

inline void add(LL pla,LL num)
{
    for(; pla<=n; pla+=lowbit(pla))a[pla]+=num;
}

查詢

模板

typedef long long LL;

class bit
{
        LL a[500005];
        inline LL lowbit(LL x)
        {
            return x&(-x);
        }

    public:
        LL n;
        inline void add(LL pla,LL num)
        {
            for(; pla<=n; pla+=lowbit(pla))a[pla]+=num;
        }
        inline LL sum(LL pla)
        {
            LL ans=0;
            for(; pla; pla-=lowbit(pla))ans+=a[pla];
            return ans;
        }
};

學習：樹狀數組&線段樹