Portal

Description

進行\(T(T\leq10^5)\)次詢問，每次給出\(x_1,x_2,y_1,y_2\)和\(d\)（均不超過\(10^5\)），求\(\sum_{i=x_1}^{x_2} \sum_{j=y_1}^{y_2} [gcd(i,j)=d]\)。

Solution

莫比烏斯反演入門題。
設\(calc(n,m)\)表示\(i\in[1,n],j\in[1,m]\)且\(gcd(i,j)=d\)的數對\((i,j)\)的個數。那麽簡單地進行容斥，可知\(ans=calc(x_2,y_2)-calc(x_1-1,y_2)-calc(x_2,y_1-1)+calc(x_1-1,x_2-1)\)

\[\begin{align*} F(x) &= \sum_{x|d} f(d) \ &= \sum_{x|d} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=d] \ &= \sum_{k=1}^{?\frac{n}{x}?} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=kx] \ &= ?\frac{n}{x}??\frac{m}{x}? \end{align*}\]

觀察發現，一個取值為\(v\)的區間是以\(?\frac{n}{v}?\)結尾的，下一個區間是從\(?\frac{n}{v}?+1\)開始的，模擬這一性質去計算即可。若對於區間\(k\in[L,R]\)有\(?\dfrac{n}{kx}?=v_1,?\dfrac{m}{kx}?=v_2\)，那麽該區間對答案的貢獻為\(v_1v_2\sum_{k=L}^R \mu(k)\)，預處理出\(\mu(x)\)的前綴和即可。

時間復雜度\(O(T\sqrt {10^5})\)。

Code

//[HAOI2011]Problem b
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using std::min; using std::swap;
typedef long long lint;
inline char gc()
{
    static char now[1<<16],*s,*t;
    if(s==t) {t=(s=now)+fread(now,1,1<<16,stdin); if(s==t) return EOF;}
    return *s++;
}
inline int read()
{
    int x=0; char ch=gc();
    while(ch<'0'||'9'<ch) ch=gc();
    while('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x;
}
const int N=5e4+10;
int mu[N],pre[N];
int cntP,pr[N]; bool notP[N];
void getMu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!notP[i]) pr[++cntP]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cntP;j++)
        {
            if((lint)i*pr[j]>n) break;
            int x=i*pr[j]; notP[x]=true;
            if(i%pr[j]) mu[x]=-mu[i]; else {mu[x]=0; break;}
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=pre[i-1]+mu[i];
}
int k;
lint calc(int x,int y)
{
    x/=k,y/=k; if(x>y) swap(x,y);
    lint res=0;
    for(int L=1,R;L<=x;L=R+1)
    {
        int v1=x/L,v2=y/L; R=min(x/v1,y/v2);
        res+=1LL*(pre[R]-pre[L-1])*v1*v2;
    }
    return res;
}
int main()
{
    getMu(5e4);
    int Q=read();
    while(Q--)
    {
        int fr1=read(),to1=read(),fr2=read(),to2=read(); k=read();
        printf("%lld\n",calc(to1,to2)-calc(fr1-1,to2)-calc(to1,fr2-1)+calc(fr1-1,fr2-1));
    }
    return 0;
}

洛谷P2522 - [HAOI2011]Problem b