【題目描述】

Say you have an array for which the i th element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most k transactions.

Notice：You may not engage in multiple transactions at the same time (i.e., you must sell the stock before you buy again).

假設你有一個數組，它的第i個元素是一支給定的股票在第i天的價格。

設計一個算法來找到最大的利潤。你最多可以完成 k 筆交易。

【註】你不可以同時參與多筆交易(你必須在再次購買前出售掉之前的股票)

【題目鏈接】

www.lintcode.com/en/problem/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/

【題目解析】

下面的解法主要是能把兩次的限制推廣到k次交易：

這道題是Best Time to Buy and Sell Stock的擴展，現在最多可以進行兩次交易。所以仍然使用動態規劃來完成，事實上可以解決非常通用的情況，也就是最多進行k次交易的情況。 這裏我們先解釋最多可以進行k次交易的算法，然後最多進行兩次我們只需要把k取成2即可。我們還是使用“局部最優和全局最優解法”。我們維護兩種量，一個是當前到達第i天可以最多進行j次交易，最好的利潤是多少（global[i][j]），另一個是當前到達第i天，最多可進行j次交易，並且最後一次交易在當天賣出的最好的利潤是多少（local[i][j]）。下面我們來看遞推式，全局的比較簡單，

global[i][j]=max(local[i][j],global[i-1][j])，

也就是去當前局部最好的，和過往全局最好的中大的那個（因為最後一次交易如果包含當前天一定在局部最好的裏面，否則一定在過往全局最優的裏面）。

全局（到達第i天進行j次交易的最大收益） = max{局部（在第i天交易後，恰好滿足j次交易），全局（到達第i-1天時已經滿足j次交易）}

對於局部變量的維護，遞推式是

local[i][j]=max(global[i-1][j-1]+max(diff,0),local[i-1][j]+diff)，

也就是看兩個量，第一個是全局到i-1天進行j-1次交易，然後加上今天的交易，如果今天是賺錢的話（也就是前面只要j-1次交易，最後一次交易取當前天），第二個量則是取local第i-1天j次交易，然後加上今天的差值（這裏因為local[i-1][j]比如包含第i-1天賣出的交易，所以現在變成第i天賣出，並不會增加交易次數，而且這裏無論diff是不是大於0都一定要加上，因為否則就不滿足local[i][j]必須在最後一天賣出的條件了）。

局部（在第i天交易後，總共交易了j次） = max{情況2，情況1}

情況1：在第i-1天時，恰好已經交易了j次（local[i-1][j]），那麽如果i-1天到i天再交易一次：即在第i-1天買入，第i天賣出（diff），則這不並不會增加交易次數！【例如我在第一天買入，第二天賣出；然後第二天又買入，第三天再賣出的行為 和 第一天買入，第三天賣出 的效果是一樣的，其實只進行了一次交易！因為有連續性】 情況2：第i-1天後，共交易了j-1次（global[i-1][j-1]），因此為了滿足“第i天過後共進行了j次交易，且第i天必須進行交易”的條件：我們可以選擇1：在第i-1天買入，然後再第i天賣出（diff），或者選擇在第i天買入，然後同樣在第i天賣出（收益為0）。

上面的算法中對於天數需要一次掃描，而每次要對交易次數進行遞推式求解，所以時間復雜度是O(n*k)，如果是最多進行兩次交易，那麽復雜度還是O(n)。空間上只需要維護當天數據皆可以，所以是O(k)，當k=2，則是O(1)。

【參考答案】

www.jiuzhang.com/solutions/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/

Lintcode393 Best Time to Buy and Sell Stock IV solution 題解