【題目描述】

Find the kth smallest number in at row and column sorted matrix.

在一個排序矩陣中找從小到大的第 k 個整數。

排序矩陣的定義為：每一行遞增，每一列也遞增。

【題目鏈接】

www.lintcode.com/en/problem/kth-smallest-number-in-sorted-matrix/

【題目解析】

尋找第k小的數，可以聯想到轉化為數組後排序，不過這樣的時間復雜度較高：O(n^2 log n^2) + O(k).

進一步，換種思路，考慮到堆（Heap）的特性，可以建立一個Min Heap，然後poll k次，得到第k個最小數字。不過這樣的復雜度仍然較高。

考慮到問題中矩陣本身的特點：排過序，那麽可以進一步優化算法。

[1 ,5 ,7],

[3 ,7 ,8],

[4 ,8 ,9],

因為行row和列column都已排序，那麽matrix中最小的數字無疑是左上角的那一個，坐標表示也就是(0, 0)。尋找第2小的數字，也就需要在(0, 1), (1, 0)中得出；以此類推第3小的數字，也就要在(0, 1), (1, 0), (2, 0), (1, 1), (0, 2)中尋找。

在一個數字集合中尋找最大（Max）或者最小值（Min），很快可以聯想到用Heap，在Java中的實現是Priority Queue，它的pop，push操作均為O(logn)，而top操作，得到堆頂僅需O(1)。

從左上(0, 0)位置開始往右/下方遍歷，使用一個Hashmap記錄visit過的坐標，把候選的數字以及其坐標放入一個大小為k的heap中（只把未曾visit過的坐標放入heap），並且每次放入前彈出掉（poll）堆頂元素，這樣最多會添加（push）2k個元素。時間復雜度是O(klog2k)，也就是說在矩陣自身特征的條件上優化，可以達到常數時間的復雜度，空間復雜度也為O(k)，即存儲k個候選數字的Priority Queue （Heap）。

【參考答案】

www.jiuzhang.com/solutions/kth-smallest-number-in-sorted-matrix/

Lintcode401 Kth Smallest Number in Sorted Matrix solution 題解