https://zybuluo.com/ysner/note/1144701

題面

給出一個\(n×m\)的矩陣。請在其中選擇\(3\)個互不相交的，大小恰為\(k×k\) 的子矩陣，使得子矩陣的權值和最大。

• \(n\leq1500,m\leq1500\)

  解析

  這題和CJOJ2501很像呢。。。
  看到題，本能地打了一個\(DP\)，然後至今調不出來。。。

解法一

矩陣對應端點為其右下方端點，\(S[i][j]\)即為其面積。
\(f[i][j]\)表示選擇\((i,j)\)這個點對應矩陣，並且還選擇\(1~0\)個矩陣的最優解。
\(upmx\)表示當前點可轉移的上方所有點對應值\(S\)最優值。\(lfmx[j]\)

il void Matrix()
{
  fp(i,1,n) fp(j,1,m) a[i][j]=gi()+a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];//二維前綴和套路
  fp(i,k,n) fp(j,k,m) s[i][j]=a[i][j]+a[i-k][j-k]-a[i-k][j]-a[i][j-k];//以(i,j)為右下端點的k*k矩陣的面積(還是套路,自己畫圖就知道了)
}
il void Solve()
{
  upmx=0;memset(lfmx,0,sizeof(lfmx));
  fp(i,k,n) 
    {
      fp(j,k,m) upmx=max(upmx,s[i-k][j]);//i代表行,j代表列,該矩陣上面 底最下到該矩形的上邊的矩形
      fp(j,k,m) 
    {
          lfmx[j]=max(lfmx[j-1],lfmx[j]);//維護左邊的最大權值矩形
          lfmx[j]=max(lfmx[j],s[i][j]);//維護上邊的最大權值矩形
      f[i][j]=max(upmx,lfmx[j-k])+s[i][j];//累計合法情況
    }
    }//搞完兩個矩陣的情況
  upmx=0;memset(lfmx,0,sizeof(lfmx));//lfmx變成維護f,f代表兩個矩形,我們依據上面的套路繼續選取s(1個)+f(2個)
 fp(i,k,n) 
    {
      fp(j,k,m) upmx=max(upmx,f[i-k][j]);
      fp(j,k,m) 
    {
          lfmx[j]=max(lfmx[j-1],lfmx[j]);
      lfmx[j]=max(lfmx[j],f[i][j]);
      ans=max(ans,max(upmx,lfmx[j-k])+s[i][j]);
    }
    }//搞完三個矩陣的矩陣
 //最後補充一句,在當前矩陣左上方選取的矩陣對當前矩陣沒有影響
}
int main()
{
  n=gi();m=gi();k=gi();
  Matrix();
  ans=0;
  Solve();
  printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
 

解法二

取三個互不相交的矩形？
何嘗不是把整個圖形分為三塊，然後在每一塊中取最大值？
分成三塊有六種情況：

於是對應維護以每個點為右下角的\(k*k\)矩形權值和。
據此，可以維護每個點左上\(a\)、左下\(c\)、右上\(b\)、右下\(d\)部分的權值和。
然後枚舉中間點（兩條直線的交線，或者中間矩形的右下角），不斷取\(max\)統計即可。

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=2100;
int n,m,k,mp[N][N],a[N][N],b[N][N],c[N][N],d[N][N],ans;
il int gi()
{
  re int x=0,t=1;
  re char ch=getchar();
  while((ch<‘0‘||ch>‘9‘)&&ch!=‘-‘) ch=getchar();
  if(ch==‘-‘) t=-1,ch=getchar();
  while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
int main()
{
  n=gi();m=gi();k=gi();
  fp(i,1,n) fp(j,1,m) mp[i][j]=mp[i-1][j]+mp[i][j-1]-mp[i-1][j-1]+gi();    
  fq(i,n,k) fq(j,m,k) mp[i][j]-=(mp[i-k][j]+mp[i][j-k]-mp[i-k][j-k]);
  fp(i,k,n) fp(j,k,m) a[i][j]=max(mp[i][j],max(a[i-1][j],a[i][j-1]));
  fp(i,k,n) fq(j,m,k) b[i][j]=max(mp[i][j],max(b[i-1][j],b[i][j+1]));
  fq(i,n,k) fp(j,k,m) c[i][j]=max(mp[i][j],max(c[i+1][j],c[i][j-1]));
  fq(i,n,k) fq(j,m,k) d[i][j]=max(mp[i][j],max(d[i+1][j],d[i][j+1]));
  fp(i,k,n-k) fp(j,k,m-k) ans=max(ans,a[i][m]+c[i+k][j]+d[i+k][j+k]);
  fp(i,k,n-k) fp(j,k,m-k) ans=max(ans,a[i][j]+b[i][j+k]+c[i+k][m]);
  fp(i,k,n-k) fp(j,k,m-k) ans=max(ans,a[n][j]+b[i][j+k]+d[i+k][j+k]);
  fp(i,k,n-k) fp(j,k,m-k) ans=max(ans,a[i][j]+b[n][j+k]+c[i+k][j]);
  fp(i,k,n-k) fp(j,k+k,m-k) ans=max(ans,a[n][j-k]+b[n][j+k]+mp[i][j]);
  fp(i,k+k,n-k) fp(j,k,m-k) ans=max(ans,a[i-k][m]+c[i+k][m]+mp[i][j]);
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}
 

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