一個長為 n 的鏈，點權分別為 1 ~ n，最左邊的點權為 n，最右邊的點權為 1，每個點分別向左邊和右邊第一個比它大的點連長為 1 的無向邊，問任意兩點的最短路徑。1 <= n <= 100000。

　　考慮連邊的性質，兩點的最短路徑一定是點權遞增或先增後減，所以相當於由點權小的向點權大的連有向邊，每次詢問時兩點同時往上跳，跳到同一個點終止。設向左連的邊構成左樹，向右連的構成右樹，則兩點可能的終點只有三個：左樹 lca、右樹 lca、左樹和右樹到根路徑的交點（即兩點所夾區間最大值的位置）。

　　考慮怎樣用倍增來解決，利用每個點向第一個比它大的點連邊的性質，若 x 的目標結點是 y，x 連接的兩個點分別為 a 和 b，且 x < a < b < y，則跳 b 肯定比跳 a 優，所以可以使每個點向它兩條邊中較大點連邊建出優勢樹，在優勢樹上倍增，跳到下一個點就要大於 y 時停止，可利用性質證明這時剩下的邊一定是都在左樹或都在右樹上，直接用深度相減得出答案。

　　例如序列：

　　藍邊表示左樹，紫邊表示右樹：

　　紅邊表示優勢樹：

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 
  3 #define x first
  4 #define y second
  5 #define pb push_back
  6 #define mp make_pair
  7 #define vi vector<int>
  8 #define pr pair<int,int>
  9
 
 #define SZ(S) int(S.size())
 10 #define REP(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
 11 #define FOR(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
 12 #define FORD(i,b,a) for(int i=b;i>=a;--i)
 13 #define CLR(A,x) memset(A,x,sizeof(A))
 14 #define ALL(S) S.begin(),S.end()
 15 
 16 #define OUT(a,l,r) cout<<#a": ";FOR(i,l,r)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl
 17
 
 #define PRT(a) cout<<"--> "#a" "<<a<<endl
 18 
 19 using namespace std;
 20 typedef long long ll;
 21 
 22 const int N=100005,M=18,INF=0x3f3f3f3f;
 23 const ll P=1e9+7;
 24 
 25 template<typename T>
 26 inline void read(T& x,int f=1,char s=getchar()) {
 27     for(x=0;s>‘9‘||s<‘0‘;s=getchar()) if(s==‘-‘) f=-1; 
 28     while(s<=‘9‘&&s>=‘0‘) x=x*10+s-‘0‘,s=getchar();x*=f;
 29 }
 30 
 31 set<int> s;
 32 int n,m;
 33 int t[N<<2];
 34 int l[N],r[N];
 35 int a[N],rk[N];
 36 int depl[N],depr[N];
 37 int f[N][M];
 38 
 39 #define ne (o<<1)
 40 #define mid ((l+r)>>1)
 41 void build(int o,int l,int r) {
 42     if(l==r) {t[o]=a[l];return;}
 43     build(ne,l,mid),build(ne|1,mid+1,r);
 44     t[o]=max(t[ne],t[ne|1]);
 45 }
 46 
 47 int qmax(int o,int l,int r,int L,int R,int ret=0) {
 48     if(L<=l&&r<=R) return t[o];
 49     if(L<=mid) ret=max(ret,qmax(ne,l,mid,L,R));
 50     if(R>mid) ret=max(ret,qmax(ne|1,mid+1,r,L,R));
 51     return ret;
 52 }
 53 
 54 #define IT set<int>::iterator
 55 void pre() {
 56     s.insert(1),s.insert(n);
 57     FORD(i,n-2,1) {
 58         int x=rk[i];
 59         IT it=s.insert(x).x;
 60         IT it1=it;it1--;
 61         IT it2=it;it2++;
 62         l[x]=*it1;
 63         r[x]=*it2;
 64     }
 65     l[n]=1;
 66     FOR(i,1,n) depl[i]=depl[l[i]]+1;
 67     FORD(i,n,1) depr[i]=depr[r[i]]+1;
 68     FORD(i,n-2,1) {
 69         int x=rk[i];
 70         if(a[l[x]]>=a[r[x]]) f[x][0]=l[x];
 71         else f[x][0]=r[x];
 72         REP(j,1,M) f[x][j]=f[f[x][j-1]][j-1];
 73     }
 74     f[n][0]=1;
 75 }
 76 
 77 int dis(int x,int y,int *l,int *dep) {
 78     if(x==y) return 0;
 79     if(l[x]==y) return 1;
 80     
 81     int ret=0;
 82     FORD(i,M-1,0) {
 83         int xx=f[x][i];
 84         if(xx==0) continue;
 85         if(xx==y) return ret+(1<<i);
 86         if(l[xx]==y) return ret+(1<<i)+1;
 87         if(dep[y]<dep[l[xx]]) x=xx,ret+=(1<<i);
 88     }
 89     return INF;
 90 }
 91 
 92 int main() {
 93     int x,y,z;
 94     read(n),read(m);
 95     FOR(i,1,n) read(a[i]),rk[a[i]]=i;
 96     build(1,1,n);
 97     pre();
 98     FOR(i,1,m) {
 99         read(x),read(y);
100         int ans=INF;
101         z=rk[qmax(1,1,n,x,y)];
102         ans=min(ans,dis(x,z,r,depr)+dis(y,z,l,depl));
103         
104         if(l[z]) ans=min(ans,dis(x,l[z],l,depl)+dis(y,l[z],l,depl));
105         if(r[z]) ans=min(ans,dis(x,r[z],r,depr)+dis(y,r[z],r,depr));
106         printf("%d\n",ans);
107     }
108     return 0;
109 }

極限數據生成：隨機一個排列，分成大概20段，每段內排序。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 #define x first
 4 #define y second
 5 #define pb push_back
 6 #define mp make_pair
 7 #define vi vector<int>
 8 #define pr pair<int,int>
 9 #define SZ(S) int(S.size())
10 #define REP(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
11 #define FOR(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
12 #define FORD(i,b,a) for(int i=b;i>=a;--i)
13 #define CLR(A,x) memset(A,x,sizeof(A))
14 #define ALL(S) S.begin(),S.end()
15 
16 #define OUT(a,l,r) cout<<#a": ";FOR(i,l,r)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl
17 #define PRT(a) cout<<"--> "#a" "<<a<<endl
18 
19 using namespace std;
20 typedef long long ll;
21 
22 const int N=100005,M=20,INF=0x3f3f3f3f;
23 const ll P=1e9+7;
24 
25 template<typename T>
26 inline void read(T& x,int f=1,char s=getchar()) {
27     for(x=0;s>‘9‘||s<‘0‘;s=getchar()) if(s==‘-‘) f=-1; 
28     while(s<=‘9‘&&s>=‘0‘) x=x*10+s-‘0‘,s=getchar();x*=f;
29 }
30 
31 string pro="";
32 void add(string& s,int id) {
33     if(id>=10) {
34         s+=char(id/10+‘0‘);
35         s+=char(id%10+‘0‘);
36     }
37     else {
38         s+=char(id+‘0‘);
39     }
40 }
41 
42 void gen_i(int id) {
43     string str="data.exe > data\\";
44     str+=pro;
45     add(str,id);
46     str+=".in";
47     cout<<str<<endl;
48     system(str.c_str());
49 }
50 
51 void gen_o(int id) {
52     string str="std.exe < data\\";
53     str+=pro;
54     add(str,id);
55     str+=".in > data\\";
56     str+=pro;
57     add(str,id);
58     str+=".out";
59     cout<<str<<endl;
60     system(str.c_str());
61 }
62 
63 int main() {
64     int l=1;
65     int r=10;
66     
67     FOR(i,l,r) gen_i(i);
68     FOR(i,l,r) gen_o(i);
69 }

2017/11/08 胡策 T3