題面在這裏

description

定義\(f(i)\)表示將\(i\)看成字符串的最長上升子序列長度。
給定\(l\),\(r\),\(k\)，求滿足\(l\le i\le r\)且\(f(i)=k\)的個數。

data range

\[1\le l\le r\le 10^{18}，1\le k\le 10\]

solution

一開始的思路是使用數位\(DP\),\(f[i][j][k][0/1]\)
表示第\(i\)位尾數為\(j\),\(log n\)做法的單調序列情況為\(k\);

一開始想象單調隊列的情況需要存\(10^{10}\)種,復雜度會超時。
但考慮優化狀態,可以發現這個單調序列有一些特殊的性質:
1 長度至多為10
2 可能出現的數字只有0-9,並且不重復
3 這個序列是單調遞增的

有了這些性質,我們可以知道
對於每一個單調序列中數字0-9的存在情況,滿足要求的隊列有且只有一個
因此,我們使用二進制表示0-9是否存在於單調隊列的狀態,
這樣\([k]\)這一位的空間就變成了\(2^{10}=1024\)
狀態可以繼續優化成\(f[i][k][0/1]\),
於是總理論復雜度變為\(O(Tlen(n)2^{10}\times 10)\),
比之前有所降低,但仍舊無法通過

解決前導0問題的方法:記憶化搜索!!!

//數位DP的記憶化搜索
int a[MAX_LEN],f[MAX_LEN][MAX_F]
//一般來說記憶化數組f記錄的是q和zr全都為0的情況
ll dfs(int p,int s,bool
 
 q,bool z){
    //數位,附加狀態,危險態/安全態,是否有前導0
    if(p==-1)return check(s);
    //檢查附加狀態s是否符合要求,如果符合貢獻+1
    if(!q&&!z&&f[p][s]!=-1)return f[p][s];
    int ans=0;
    for(RG int i=0,end=(q?a[p]:9);i<=end;i++)
        if(z&&!i)ans+=dfs(i-1,s,q&&i==end,1);
        else ans+=dfs(i-1
 
,to[s][i],q&&i==end,0);
    //to[s][i]指附加狀態s通過i轉移後的新狀態
    if(!q&&!z)f[p][s]=ans;return ans;
}
void solve(ll x){
    RG int len=0;while(x){a[len++]=x%10;x/=10;}
    //按照低位在前的順序放好
    return dfs(len,0,1,1);
}

多組詢問我們可以考慮記憶化搜索來降低實際時間復雜度,
然後通過預處理轉移來降低常數

code

#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
//#define TEST
#define FILE "a"
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const int inf=1e9+7;
const int mod2=998244353;
const int rev2=332748118;
const int mod1=1e9+7;
const int N=3010;
const dd eps=1e-10;
const ll INF=1e18;
const int g=3;
il ll read(){
  RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
  while(ch!=‘-‘&&(ch<‘0‘||ch>‘9‘))ch=getchar();
  if(ch==‘-‘)w=-1,ch=getchar();
  while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)data=data*10+ch-48,ch=getchar();
  return data*w;
}

il void file(){
  freopen(FILE".in","r",stdin);
  freopen(FILE".out","w",stdout);
}

int k,cnt[1024],que[1024][10],to[1024][10],a[20];
il void getque(int x){
    for(RG int i=0;i<=9;i++)
        if(x&(1<<i))que[x][++cnt[x]]=i;
}
il int getnxt(int x,int y){
    for(RG int i=y;i<=9;i++)
        if(x&(1<<i))return x^(1<<i)|(1<<y);
    return x|(1<<y);
}

il void print(int x){
    for(RG int i=0;i<=9;i++)
        if(x&(1<<i))printf("%d ",i);
}

ll f[20][1024][11];
il bool check(int s){return cnt[s]==k;}
il ll dfs(int p,int s,bool q,bool z){
    if(p==-1){return check(s);}
    if(!q&&!z&&f[p][s][k]!=-1){return f[p][s][k];}
    ll ans=0;int end=(q?a[p]:9);
    for(RG int i=0;i<=end;i++){
        if(z&&!i)ans+=dfs(p-1,0,q&&i==end,1);
        else ans+=dfs(p-1,to[s][i],q&&i==end,0);
    }
    if(!q&&!z)f[p][s][k]=ans;return ans;
}

il ll DP(ll n){
    RG int len=0;while(n){a[len++]=n%10;n/=10;}
    return dfs(len-1,0,1,1);
}

int main()
{
    memset(f,-1,sizeof(f));
    for(RG int i=0;i<1024;i++){
        getque(i);
        for(RG int j=0;j<=9;j++)
            to[i][j]=getnxt(i,j);
    }

    RG int T=read();
    for(RG int i=1;i<=T;i++){
        ll l=read();ll r=read();k=read();
        printf("Case #%d: %lld\n",i,DP(r)-DP(l-1));
    }
    return 0;
}

[HDU4352]XHXJ's LIS