前幾天gryz組織我們聽了幾天數論，蒟蒻 Nanjo_Qi 自然是聽得一點問題也沒有。

於是只能自己yy著學一點其他的數學的東西，正巧在那之前剛剛學會盧卡斯定理，於是現在就來水一篇博客。

其實是不想做題了。正巧機房裝修，吵的一批。

盧卡斯（Lucas）定理是什麽？

他是用來求組合數 C(n, m) % p 值的定理，這裏的p是素數。所以，它是一個解決大組合數求模的算法。所以看起來還是很有用的感覺。

為了給以後的學習做鋪墊，我們先來了解一下乘法逆元：

逆元是指一個可以取消另一給定元素運算的元素，例如加法中的加法逆元和乘法中的倒數。

而一個數關於模p意義下的逆元可以利用快速冪，擴展歐幾裏得算法等求得：

已知(a, p) = 1，則 a^p-1 ≡ 1 (mod p), 所以 a * a^p-2 ≡ 1 (mod p) ，也就是 (m!(n-m)!) 的逆元為 (m!(n-m)!)^p-2 。

 1 typedef u64 long long;
 2 
 3 inline u64 Fast_Pow(u64 k, u64 b) {
 4     u64 ans = 1;
 5     while(b) {
 6         if( b&1 )  ans = ans * k % p;
 7         k = k * k % p, b >>= 1;
 8     }
 
 9     return ans;
10 }

然後就可以愉快地學習Lucas了。

推導過程如下（來自百度百科，計算機競賽不需要證明，所以不想看就算了（bushi））：

首先你需要這個算式:

其中f > 0 && f < p，然後

(1 + x) ⁿ Ξ (1 + x) ^sp+q Ξ ( (1 + x)^p)^s · (1 + x) ^q Ξ (1 + x^p) ^s · (1 + x) ^q (mod p)

所以得(1 + x) ^sp+q (mod p)

我們求左邊 (1 + x)^sp+q 中的 的系數為：

求右邊公式中的 ：

通過觀察你會發現當且僅當i = t , j = r ,能夠得到

所以 ，得證。

反正我是沒仔細看懂，所以對不對我也不知道。

你只要知道：C(n, m) % p = (C(n/p, m/p) % p) * (C(n%p, m%p) % p) % p 就好了吧？（笑

然後程序可以對 C(n%p, m%p) % p 這個地方遞歸調用Lucas定理；

以及前面 C(n, m) % p = n! / ( m!(n - m)! ) % p 的除法取模，求一下 n! / ( m!(n - m)! ) 模p意義下的逆元就好了。

其實就是一個公式的東西233，很簡單的板子，轉眼水完了半上午。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cctype>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 
 7 typedef long long u64;
 8 
 9 const int maxn = 100000 + 10;
10 u64 n, m, p, fac[maxn];
11 
12 inline u64 Fast_Pow(u64 x, u64 k) {
13     u64 ans = 1;
14     while(k) {
15         if( k&1 ) ans = ans * x % p;
16         k >>= 1, x = x * x % p;
17     }
18     return ans;
19 }
20 
21 u64 C(u64 k, u64 b) {
22     if( k<b )  return 0;
23     return fac[k] * Fast_Pow(fac[b] % p, p-2) % p * Fast_Pow(fac[k-b] % p, p-2) % p;
24 }
25 
26 u64 Lucas(u64 k, u64 b) {
27     if( !b )  return 1;
28     return C(k%p, b%p) * Lucas(k/p, b/p) % p;
29 }
30 
31 int main(int argc, char const *argv[])
32 {
33     int t;  scanf("%d", &t);
34     while( t-- ) {
35         fac[0] = 1;
36         scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &p);
37         for(int i=1; i<=p; ++i)
38             fac[i] = fac[i-1] * i % p;
39         printf("%lld\n", Lucas(n+m, m));
40     }
41     return 0;
42 }

　　　　　　　　　　　　　　　——「看來『那個』不是什麽溫柔的謊言。」
　　　　　　　　　　　　　　　——「似乎是這樣。」霧子微微笑著說，「最後能知道這件事實在太好了。」

淺談盧卡斯定理