01分數規劃學習筆記

今天 gsh 帶著我們復習了一下01分數規劃。

01分數規劃就是假設一個物體有兩個屬性 a,b，同時選擇在這個集合中的k個物品，使：

\[ v=\dfrac{\sum^{i=1} _{i<=n} a_i \cdot x_i}{\sum ^{i=1} _{i<=n} b_i \cdot x_i} ,\sum_{i=1}^{n}x_i=k \]
的值最大。

那麽如何能做到呢？看這個式子我們很難看出如何求解，那麽將其變形。
\[ v \cdot \sum^{i=1} _{i<=n} b_i \cdot x_i- \sum^{i=1}_{i<=n} a_i\cdot x_i=0 \]

    while(r-l>1e-5) {
            double mid=(l+r)/2;
            if(check(mid))
                l=mid;
            else r=mid;
        }

然後就有最優比率生成環（用spfa等等判正環），最優比率生成樹（最大生成樹）求出sumc是否大於0即可。

附一道題，poj2728，Desert King，最優比率生成樹。

題目大意:有n個村莊，每個村莊有一個高度和坐標，要求建一個生成樹，每條邊有兩個屬性是距離與代價，要求單位長度的花費最小 （代價的大小就是這兩個村莊的高度差的絕對值）。

//Writer : Hsz %WJMZBMR%tourist%hzwer
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
 

#include<stack>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
int n;
const int N=1004;
int x[N],y[N],z[N];
bool vis[N];
double a[N][N],b[N][N],c[N][N],dis[N];//鄰接矩陣存圖。
double dist(int d,int e) {
    return (x[d]-x[e])*(x[d]-x[e])+(y[d]-y[e])*(y[d]-y[e]);
}
bool check(double v) {
    memset(vis,0,sizeof vis);
    vis[1]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++) dis[i]=b[1][i]-v*a[1][i];
    double ans=0;
    for(int i=2; i<=n; i++) {//prim求最小生成樹
        double tp=1061109567;
        int k;
        for(int j=2; j<=n; j++)
            if(!vis[j] and dis[j]<tp) k=j,tp=dis[j];
        if(k==-1) break;
        vis[k]=1;
        ans+=tp;
        for(int j=2; j<=n; j++) {
            if(!vis[j] and b[k][j]-v*(a[k][j])<dis[j]) {
                dis[j]=b[k][j]-v*(a[k][j]);
            }
        }
    }
    return ans>=0;
}
int main() {
    while(~scanf("%d",&n)&&n) {
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&z[i]);
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
                if(i!=j)
                    a[i][j]=sqrt(dist(i,j)),b[i][j]=abs(z[i]-z[j]);
        double l=0,r=1e9;
        while(r-l>1e-5) {//二分
            double mid=(l+r)/2;
            if(check(mid))
                l=mid;
            else r=mid;
        }
        printf("%.3lf\n",l);
    }

    return 0;
}

01分數規劃學習筆記