1 引言

指數追蹤，利用某些金融資產組合去追蹤某一股票指數，指數型基金核心技術。 目前主要有兩種指數復制方法 基於兩種假設 一：歷史能夠重演，在過去一段時間能構造歷史追蹤誤差最小的，未來也將是最優，現在大多數指數復制類型為此類。二：從統計角度，找到與目標指數具有最大相關 具有協整關系的股票組合，保證未來表現與未來盡可能一致。

從股票數量復制角度，分為兩種，完全復制和不完全復制，完全復制按照指數構造方式購買成分證券，但市場時序上變化迅速，造成成本高，逐漸不被使用。不完全復制根據優化方法尋找成分證券及其投資權重。

2模型

先引入模型變量

：

模型的構建：

至此，我們就可以得到了如下的一個回歸問題

w（it）表示第i支股票t時刻的權重，如果將其處理為與時間有關的，則此線性回歸問題將變得非常復雜，難以處理，為對此優化，我們采用固定比率策略，即w（it）=w（i）。這樣有兩個好處，一，從策略角度，為一個追漲殺跌策略，保證組合的流動性。二，模型簡化為一個二次規劃問題，能夠很容易的求解。

至此，將指數追蹤轉為了一個多元線性回歸問題。

傳統線性回歸方法為最小二乘回歸，將損失函數選擇為均方誤差：

（*）

（*）式表示了學習過程的經驗風險，傳統理論認為，經驗風險最小，即模型未來預測能力越強，但現在考慮過擬合情況，使用傳統機器學習中的svm，其具有較好泛化能力，采用結構風險最小策略，即參數量越少越好，同時參數越接近0越好，重新定義我們的損失函數：

其中ε為松弛變量，是一個接近於0但大於0的數，它的大小控制了svm中支持向量的個數，為一個超參數，需要人手工設計。

現在我們的目標函數即為：

最小化第一項，代表最小化結構風險，同時能代表svm中的間隔最大化，即有最好的預測能力；最小化第二項表示最小化經驗損失，其中 λ為不同時期的經驗損失的權重，金融中，越接近現在的，認為其含有較多未來信息，需要對現在的經驗損失提高權重，為此我們采用基於指數加權方式來計算 λ

其中α同樣為一個超參數，需要人為設計，再次，我們設定為1。

至此我們的目標函數已經建立起來，接下來，就是對約束條件的討論：

自然有的兩個邊界為資本預算以及投資比例：

從管理方面需要考慮股票的數目，數目越大，管理成本和難度越大，同樣選取一個超參數k，其代表投資組合內最大股票種類

同時限制 z 為0 1變量，為0即不進入組合，為1即進入組合。

以上討論了約束條件和目標函數，最終我們得到了我們的指數復制模型：

3 實驗驗證

從魯棒性和樣本外追蹤效果來看，優於Ruiz-Torrubiano模型

4 思考與探索

一，借助於svm中松弛變量以及支持向量的思想，進一步提高了模型泛化性能；

二，時間加權，更加準確

想法：

1 svm中更為強大的是核技巧，怎麽將核函數應用於其中，去更好的提高泛化能力

2 模型中有幾個需要人為去指定和設計的超參數，依賴於人的經驗，如何去智能調參，可能參考現在深度學習的重要方向 元學習 對其的經驗損失中的超參數 怎麽類比到深度學習中的正則化項

3指數復制中一個重要問題為基金按模型執行策略時，自身參加到了市場中，自己也對市場產生了影響，如同得到了解析解，但實際計算數值解時，發現其數據有噪聲，導致數值解不穩定，最終成為了一個不適當問題，如何將這種行為考慮進入模型中，可以參考一下我之前講解的GNN的思想，通過尋找穩定解去解決一部分問題

4不同時期，市場有著不同風格，可以認為數據不是同種分布，而機器學習模型都假設數據有著同一分布，可以將市場分割為不同周期，每個周期有著不同的參數，以往數據更多是去驗證模型的優越性，而模型參數更多依賴於近期數據。

以上就是我對徐鳳敏教授《基於時間加權svm指數復制模型和實證分析》的淺解，期望做她的研究生，做更深一步的研究！！

基於時間加權svm的指數優化復制策略