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BZOJ 3157 傳送門

Solution:

題意：求解$\sum_{i=1}^n m^i \cdot {i^m}$

$O(m^2)$做法：

定義一個函數$f[i]$，$f[i]=\sum_{i=1}^n k^i \cdot {m^k}$

$(m-1)\cdot f(i)=\sum_{k=1}^n k^i \cdot m^{k + 1} - \sum_{k=1}^n k^i \cdot m^k$

$= \sum_{k=1}^{n+1} (k - 1)^i\cdot m^k - \sum_{k=1}^n k^i \cdot m^k $

$= n^i \cdot m^{n + 1} + \sum_{k=1}^n m^k \sum_{j = 0}^{i - 1} {i \choose j} \cdot (-1)^{i - j} \cdot k^j $

$= n^i \cdot m^{n + 1} + \sum_{j = 0}^{i - 1} {i \choose j} \cdot (-1)^{i - j} \sum_{k = 1}^n k^j \cdot m^k $

$= n^i \cdot m^{n + 1} + \sum_{j = 0}^{i - 1} {i \choose j} \cdot (-1)^{i - j} \cdot f(j) $

接下來只要預處理$C_i^j$，遞推即可

Code:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e3+10;
const int MOD=1e9+7;

ll C[MAXN][MAXN],f[MAXN],n,m,pre,dvs;

ll quick_pow(ll a,ll b)
{
    ll base=a,res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=(res*base)%MOD;
        b
 
>>=1;base=base*base%MOD;
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(m==1){printf("%lld",n*(n+1)/2%MOD);return 0;}
    
    pre=quick_pow(m,n+1);dvs=quick_pow(m-1,MOD-2);
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
    }
    
    f[0]=(pre-m+MOD)%MOD;(f[0]*=dvs)%=MOD;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        pre=pre*n%MOD;f[i]=pre;
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            ll mark=((i-j)&1)?-1:1;
            (f[i]+=mark*C[i][j]*f[j]%MOD)%=MOD;
        }
        (f[i]+=MOD)%=MOD;(f[i]*=dvs)%=MOD;
    }
    printf("%lld",f[m]);
    return 0;
}

Review:

此題的加強版：BZOJ 3516/BZOJ 4126

最後一題要用到$O(m)$的算法，然而我並不能看懂

Resources:

http://blog.miskcoo.com/2014/06/bzoj-3157

http://blog.miskcoo.com/2015/08/special-polynomial-linear-interpolation

http://trinkle.blog.uoj.ac/blog/478

杜教論文：http://www.docin.com/p-638538589.html

也許先補一補多項式定理再多看看具體數學沒有公式密集恐懼癥了就能看懂了?

[BZOJ 3157] 國王奇遇記