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??上次我們講到，我們的主人公丁丁由於用動態規劃法解決了雞蛋掉落問題（egg dropping problem）而獲得了當地科學家的賞識。這不，正當丁丁還沈浸在解決問題的喜悅中，科學家又給丁丁出了一個難題：

假設有n個雞蛋和d次嘗試機會，那麽，最多能探索多少層樓？

這無疑是雞蛋問題的翻版，因為這兩個問題實在太像了。丁丁沒有猶豫，立馬按照之前的想法開始思考：

??用\(f(d, n)\)表示該問題的解。假設從k層樓扔下雞蛋（k足夠大），若雞蛋碎了，則剩下n-1個雞蛋，d-1次嘗試機會，最多能向下探索\(f(d-1, n-1)\)層樓；若雞蛋沒碎，則剩下n個雞蛋，d-1次嘗試機會，最多能向上探索\(f(d-1, n)\)

層樓，於是：
\[f(d, n)=1+f(d-1, n-1)+f(d-1,n).\]
令\(g(d, n)=f(d, n+1)-f(d,n)\),則：
\[{\displaystyle {\begin{aligned} g(d, n)&=f(d, n+1)-f(d,n)\ &=[1+f(d-1,n)+f(d-1,n+1)]-[1+f(d-1,n-1)+f(d-1,n)]\&=[f(d-1, n+1)-f(d-1,n)]+[f(d-1,n)-f(d-1,n-1)]\&=g(d-1, n)+g(d-1,n-1)\end{aligned}}} \]
因為\(f(0,n)=f(d,0)=0\),對於任意的\(n,d\)，且\(f(d,1)=d\),故\(g(0,n)=0, g(d,0)=d.\)因為在組合數學中，有：
\[C_n^{k}=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1},\]
因此，由數學歸納法可知：\(g(d,n)=C_{d}^{n+1}.\)當\(n+1\geq d\)時，\(C_{d}^{n+1}=0.\)對於\(f(d,n)\),有：
\[{\displaystyle {\begin{aligned} f(d,n)=&[f(d,n)-f(d,n-1)]\+&[f(d,n-1)-f(d,n-2)]\+&\cdots \+&[f(d,1)-f(d,0)] \+&f(d,0). \end{aligned}}} \]
因為\(f(d,0)=0\),因此\(f(d,n)=\sum\limits_{i=1}^{n}C_{d}^{i}, d\geq 1.\)於是，科學家的問題就解決了。
??突然，丁丁又想到了：能不能用這個結果來解決雞蛋掉落問題呢？答案是肯定的，對於給定的\(k=f(d,n)\),只需要對d從1開始算起，得到d,恰好使得\(f(d,n)\geq k,\)則d即可雞蛋掉落問題的解。
??科學家看了丁丁的解答，十分滿意，他終於下定決心招丁丁為自己的助手。不過，丁丁說，他還要去外面的世界再看看，因此，科學家也沒有挽留，但他祝願丁丁好運。
??本文不再給出相關的程序，讀者可以自己實現哦~~
??本文的參考文獻為：https://brilliant.org/wiki/egg-dropping/ 。
註意：本人現已開通兩個微信公眾號： 用Python做數學（微信號為：python_math）以及輕松學會Python爬蟲（微信號為：easy_web_scrape）， 歡迎大家關註哦~~

動態規劃法（六）雞蛋掉落問題（二）