Description

歡樂島上有個非常好玩的遊戲，叫做“緊急集合”。在島上分散有N個等待點，有N-1條道路連接著它們，每一條道路都連接某兩個等待點，且通過這些道路可以走遍所有的等待點，通過道路從一個點到另一個點要花費一個遊戲幣。

參加遊戲的人三人一組，開始的時候，所有人員均任意分散在各個等待點上（每個點同時允許多個人等待），每個人均帶有足夠多的遊戲幣（用於支付使用道路的花費）、地圖（標明等待點之間道路連接的情況）以及對話機（用於和同組的成員聯系）。當集合號吹響後，每組成員之間迅速聯系，了解到自己組所有成員所在的等待點後，迅速在N個等待點中確定一個集結點，組內所有成員將在該集合點集合，集合所用花費最少的組將是遊戲的贏家。

小可可和他的朋友邀請你一起參加這個遊戲，由你來選擇集合點，聰明的你能夠完成這個任務，幫助小可可贏得遊戲嗎？

Input

第一行兩個正整數N和M（N<=500000，M<=500000），之間用一個空格隔開。分別表示等待點的個數（等待點也從1到N進行編號）和獲獎所需要完成集合的次數。 隨後有N-1行，每行用兩個正整數A和B，之間用一個空格隔開，表示編號為A和編號為B的等待點之間有一條路。 接著還有M行，每行用三個正整數表示某次集合前小可可、小可可的朋友以及你所在等待點的編號。

Output

一共有M行，每行兩個數P,C，用一個空格隔開。其中第i行表示第i次集合點選擇在編號為P的等待點，集合總共的花費是C個遊戲幣。

說明

\(100\%\)的數據中，\(N\leq500000\)，\(M\leq500000\)

Solution

這題就差在說明裏寫上“這是一道性質題，推出來性質你就能A，不然就乖乖打暴力吧！”

首先能觀察到的是這三個點之間兩兩的 \(lca\) 只能是兩個點或更少

也就是說，必定有至少兩對點是同一個 \(lca\)

這啟發我們從 \(lca\) 入手推性質。

手玩幾組數據發現答案就是三個 \(lca\) 中深度較淺的那個。

所以直接求出這三個 \(lca\) 然後暴力求距離即可

但是正解好像是再推一下式子，發現無論如何 \[ans=dep[x]+dep[y]+dep[z]-dep[lca(x,y)]-dep[lca(x,z)]-dep[lca(y,z)]\]

求距離都不用，直接減就行了。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define N 500005
#define min(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
#define swap(A,B) ((A)^=(B)^=(A)^=(B))

int dfn[N],top[N],d[N];
int n,m,cnt,tot,sum[N<<2];
int fa[N],sze[N],son[N],head[N];

struct Edge{
    int to,nxt;
}edge[N<<1];

void add(int x,int y){
    edge[++cnt].to=y;
    edge[cnt].nxt=head[x];
    head[x]=cnt;
}

int getint(){
    int x=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return x;
}

void first_dfs(int now){
    sze[now]=1;
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
        int to=edge[i].to;
        if(sze[to])
            continue;
        fa[to]=now;
        d[to]=d[now]+1;
        first_dfs(to);
        sze[now]+=sze[to];
        if(sze[to]>sze[son[now]])
            son[now]=to;
    }
}

void second_dfs(int now,int low){
    top[now]=low;
    dfn[now]=++tot;
    if(son[now])
        second_dfs(son[now],low);
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
        int to=edge[i].to;
        if(to==fa[now] or to==son[now])
            continue;
        second_dfs(to,to);
    }
}

int query(int cur,int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql<=l and r<=qr)
        return r-l+1;
    int mid=l+r>>1,ans=0;
    if(ql<=mid)
        ans+=query(cur<<1,l,mid,ql,qr);
    if(mid<qr)
        ans+=query(cur<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
    return ans;
}

int lca(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(d[top[x]]<d[top[y]])
            swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(d[x]<d[y])
        swap(x,y);
    return y;
}

int ask(int x,int y){
    int ans=0;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(d[top[x]]<d[top[y]])
            swap(x,y);
        ans+=query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(d[x]<d[y])
        swap(x,y);
    if(x!=y)
        ans+=query(1,1,n,dfn[y]+1,dfn[x]);
    return ans;
}

signed main(){
    n=getint(),m=getint();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=getint(),y=getint();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    d[1]=1; first_dfs(1);
    second_dfs(1,1);
    while(m--){
        int a=getint(),b=getint(),c=getint();
        int x=lca(a,b),y=lca(a,c),z=lca(b,c);
        int ans=d[a]+d[b]+d[c]-d[x]-d[y]-d[z];
        if(d[x]>=d[y] and d[x]>=d[z])
            printf("%d %d\n",x,ans);
        else if(d[y]>=d[x] and d[y]>=d[z])
            printf("%d %d\n",y,ans);
        else if(d[z]>=d[x] and d[z]>=d[y])
            printf("%d %d\n",z,ans);
        /*int a=getint(),b=getint(),c=getint();
        int x=lca(a,b);
        int y=lca(a,c);
        if(x!=y){
            if(d[x]<d[y]){
                int ans=d[a]+d[c]-2*d[y];
                ans+=ask(b,y);
                printf("%d %d\n",y,ans);
            } else{
                int ans=d[a]+d[b]-2*d[x];
                ans+=ask(c,x);
                printf("%d %d\n",x,ans);
            }
        } else{
            int z=lca(b,c);
            if(z==x){
                int ans=d[a]+d[b]+d[c]-3*d[z];
                printf("%d %d\n",z,ans);
            } else{
                if(d[x]<d[z]){
                    int ans=d[b]+d[c]-2*d[z];
                    ans+=ask(a,z);
                    printf("%d %d\n",z,ans);
                } else{
                    int ans=d[a]+d[b]-2*d[x];
                    ans+=ask(c,x);
                    printf("%d %d\n",x,ans);
                }
            }
        }*/
    }
    return 0;
}

[AHOI2008] 緊急集合