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3837: [Pa2013]Filary

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Description

給定n個正整數，從中挑出k個數，滿足：存在某一個m(m>=2)，使得這k個數模m的余數相等。 求出k的最大值，並求出此時的m。如果有多組解使得k最大，你要在此基礎上求出m的最大值。

Input

第一行一個正整數n（2<=n<=10^5)。 第二行n個正整數w[i](1<=w[i]<=10^7)。保證不會出現所有w[i]都相等的情況。

Output

一行兩個整數k,m。保證答案存在。

Sample Input

6
7 4 10 8 7 1

Sample Output

5 3

HINT

---

聽說大家都喜歡隨機過題法，於是我切一道（正解是）隨機的題目漲漲姿勢。 首先此題在k==2 的時候最小是 $ \frac{n}{2} $ 的，以此類推 k==3 時是 $ \frac{n}{3} $等等。 那麽最小的情況是大於等於$ \frac{n}{2} $的，這點毋庸置疑。 那麽我們隨機一個位置pos，假設a[pos]在這k個數中，找最大的k。 那麽我們求a[pos]和每個位置i的差值b[i]，然後我們這k個數的 $ gcd \gt 1 $ 這個毋庸置疑。那麽我們把每個b[i]分解成一堆質數，並記錄每個質數出現的位置數。那麽最大的k就是質數出現的最大位置數。k對應的最大的m就是這些位置的數的gcd。 而據cls說這個隨機期望是logn的。不過你還是多隨機個四五次取最大，這樣才保險點。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define clr(x) memset(x,0,sizeof(x))
 3 #define clr_1(x) memset(x,-1,sizeof(x))
 4 #define INF 0x3f3f3f3f
 5 #define LL long long
 6 #define pb push_back
 7 #define mod 1000000007
 8 #define ls(i) (i<<1)
 9 #define rs(i) (i<<1|1)
10 #define mp make_pair
11 #define
 
 fi first
12 #define se second
13 using namespace std;
14 const int N=1e7+10;
15 const int M=1e5+10;
16 int inf[N],prime[N],pre[N],g[N],num[N];
17 int tot;
18 int gcd(int a,int b)
19 {
20     int c;
21     while(b)
22         c=a%b,a=b,b=c;
23     return a;
24 }
25 void init()
26 {
27     tot=0;
28     int n=10000000;
29     for(int i=2;i<=n;i++)
30     {
31         if(!inf[i])
32             prime[++tot]=i,pre[i]=tot;
33         for(int j=1;j<=tot && prime[j]*i<=n;j++)
34         {
35             inf[prime[j]*i]=1;
36             pre[prime[j]*i]=j;
37             if(i%prime[j]==0) break;
38         }
39     }
40     return ;
41 }
42 int a[M],b[M];
43 int main()
44 {
45     init();
46     int n,m,k;
47     scanf("%d",&n);
48     for(int i=1;i<=n;i++)
49         scanf("%d",a+i);
50     int p=log10(n)+5;
51     srand(time(0));
52     m=k=0;
53     while(p--)
54     {
55 
56         int pos=rand()%n+1;
57         int tmp=0;
58         int minm=0,mink=0;
59         for(int i=1;i<=n;i++)
60         {
61             b[i]=abs(a[i]-a[pos]);
62             if(!b[i])
63                 tmp++;
64         }
65         for(int i=1;i<=n;i++)
66         {
67             int t=b[i];
68             while(t && t!=1)
69             {
70                 int temp=pre[t];
71                 num[temp]++,g[temp]=gcd(g[temp],b[i]);
72                 if(mink<num[temp]) mink=num[temp],minm=g[temp];
73                 else if(mink==num[temp]) minm=max(g[temp],minm);
74                 while(t%prime[temp]==0) t/=prime[temp];
75             }
76         }
77         if(mink+tmp>k) k=mink+tmp,m=minm;
78         else if(mink+tmp==k) m=max(m,minm);
79         for(int i=1;i<=n;i++)
80         {
81             int t=b[i];
82             while(t && t!=1)
83             {
84                 int temp=pre[t];
85                 num[temp]=0,g[temp]=0;
86                 while(t%prime[temp]==0) t/=prime[temp];
87             }
88         }
89     }
90     printf("%d %d\n",k,m);
91     return 0;
92 }

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bzoj 3837 （隨機過題法了解一下）