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BZOJ 4144 傳送門

Solution:

一道不錯的圖論綜合題

因為只詢問關鍵點，因此重點是要求出關鍵點之間的最短路，以最短路建圖

記$nst[i]$為離$i$最近的關鍵點：可以發現$A->B$的最短路徑上，一定是前一半$nst[i]$為$A$，後一半$nst[i]$為$B$

否則設$nst[x]=C$，則$A->C->B$由於經過了$C$的加油一定不會更差

因此對於符合條件的$A->B$連邊就建出了新圖（如果離線的話僅修改權值不更改節點也可行）

接下來為了使連通的最大邊最小跑$Kruskal$，此時分為兩種方式：

Solution A：Offline

明顯是更簡單的解法，學會利用離線啊！

將$Query$按$b$從小到大排序

每次只連接$edge(u,v) (w(u,v)<=b)$，最後判斷$x,y$是否在一個點集中即可

Solution B：Online

如果要強制在線也可以做，而且算常用套路

先跑$Kruskal$，將圖轉化為了樹，每次詢問在樹上倍增查找

Code:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
const int MAXN=2e5+10;
struct data{int x,y,w;}edge[MAXN];
 
struct E{int to,nxt,w;}e[MAXN<<2];
priority_queue<P,vector<P>,greater<P> > pq;
int belong[MAXN],f[MAXN][25],mx[MAXN][25],dep[MAXN],nst[MAXN],cnt=0;
int n,m,s,q,tot,head[MAXN],pos[MAXN],dist[MAXN],res[MAXN],vis[MAXN],fa[MAXN];

void add_edge(int from,int to,int cost)
{
    e[++tot].nxt=head[from
 
];e[tot].w=cost;e[tot].to=to;head[from]=tot;
    e[++tot].nxt=head[to];e[tot].w=cost;e[tot].to=from;head[to]=tot;
}

int find(int x){return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
bool cmp(data a,data b){return a.w<b.w;}

void dijkstra()
{
    for(int i=1;i<=s;i++)
        dist[pos[i]]=0,nst[pos[i]]=pos[i],pq.push(P(0,pos[i]));
    while(!pq.empty())
    {
        int u=pq.top().second;pq.pop();
        if(vis[u]) continue;vis[u]=true;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
            if(dist[e[i].to]>dist[u]+e[i].w)
            {
                dist[e[i].to]=dist[u]+e[i].w;nst[e[i].to]=nst[u];
                pq.push(P(dist[e[i].to],e[i].to));
            }
    }
}

void MST()
{
    memset(head,0,sizeof(head));
    int e_cnt=0;tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=edge[i].x,y=edge[i].y;
        if(nst[x]==nst[y]) continue;
        edge[++e_cnt].w=dist[x]+dist[y]+edge[i].w;
        edge[e_cnt].x=nst[x];edge[e_cnt].y=nst[y];
    }
    sort(edge+1,edge+e_cnt+1,cmp);
    
    for(int i=1;i<=e_cnt;i++)
    {
        int fx=find(edge[i].x),fy=find(edge[i].y);
        if(fx!=fy)
            fa[fx]=fa[fy],add_edge(edge[i].x,edge[i].y,edge[i].w);
    }
}

void dfs(int x,int bloc)
{
    belong[x]=bloc;
    for(int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++)
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1],
        mx[x][i]=max(mx[x][i-1],mx[f[x][i-1]][i-1]);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to==f[x][0]) continue;
        dep[e[i].to]=dep[x]+1;
        f[e[i].to][0]=x;mx[e[i].to][0]=e[i].w;
        dfs(e[i].to,bloc);
    }
}

int check(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int t=dep[x]-dep[y],ret=0;
    for(int i=0;i<=20;i++)
        if(t&(1<<i)) ret=max(ret,mx[x][i]),x=f[x][i];
    
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(f[x][i]!=f[y][i])
            ret=max(ret,max(mx[x][i],mx[y][i])),
            x=f[x][i],y=f[y][i];
    
    if(x!=y) ret=max(ret,max(mx[x][0],mx[y][0]));
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&s,&m);
    for(int i=1;i<=s;i++) scanf("%d",&pos[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].w),
        add_edge(edge[i].x,edge[i].y,edge[i].w);
    
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    dijkstra();MST();
    
    for(int i=1;i<=s;i++)
        if(!belong[pos[i]]) dfs(pos[i],++cnt);
    
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int x,y,b;scanf("%d%d%d",&x,&y,&b);
        if(belong[x]!=belong[y]) puts("NIE");
        else puts((check(x,y)<=b)?"TAK":"NIE");
    }
    return 0;
}

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
const int MAXN=2e5+10;
struct data{int x,y,w;}edge[MAXN];
struct E{int to,nxt,w;}e[MAXN<<2];
struct Query{int x,y,b,id;}q[MAXN];
priority_queue<P,vector<P>,greater<P> > pq;
int n,m,s,tot,head[MAXN],pos[MAXN],dist[MAXN],f[MAXN],res[MAXN],vis[MAXN];

void add_edge(int from,int to,int cost)
{
    e[++tot].nxt=head[from];e[tot].w=cost;e[tot].to=to;head[from]=tot;
    e[++tot].nxt=head[to];e[tot].w=cost;e[tot].to=from;head[to]=tot;
}

int find(int x){return (f[x]==x)?x:(f[x]=find(f[x]));}
bool cmp1(data a,data b){return a.w<b.w;}
bool cmp2(Query a,Query b){return a.b<b.b;}

void dijkstra()
{
    for(int i=1;i<=s;i++)
        dist[pos[i]]=0,pq.push(P(0,pos[i]));
    while(!pq.empty())
    {
        P t=pq.top();pq.pop();
        int u=t.second;
        if(t.first>dist[u]) continue; //這裏的判斷一定要加，或用vis也行 
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) //否則瘋狂TLE 
            if(dist[e[i].to]>dist[u]+e[i].w)
                dist[e[i].to]=dist[u]+e[i].w,pq.push(P(dist[e[i].to],e[i].to));
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&s,&m);
    for(int i=1;i<=s;i++) scanf("%d",&pos[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].w),
        add_edge(edge[i].x,edge[i].y,edge[i].w);
    
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));dijkstra();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        edge[i].w+=dist[edge[i].x]+dist[edge[i].y];
    
    scanf("%d",&s);
    for(int i=1;i<=s;i++)
        scanf("%d%d%d",&q[i].x,&q[i].y,&q[i].b),q[i].id=i;
    sort(edge+1,edge+m+1,cmp1);
    sort(q+1,q+s+1,cmp2);
    
    int cur=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
    for(int i=1;i<=s;i++)
    {
        while(cur<=m&&edge[cur].w<=q[i].b)
        {
            int fx=find(edge[cur].x),fy=find(edge[cur].y);
            if(fx!=fy) f[fx]=fy;cur++;
        }
        res[q[i].id]=(find(q[i].x)==find(q[i].y));
    }
    for(int i=1;i<=s;i++)
        puts(res[i]?"TAK":"NIE");
    return 0;
}

Review:

1、關於$dijkstra$的模板：

一定要保證每個點只對其後繼更新一次！不管是用$vis[i]$還是$top.first>dist[top.second]$

2、如果可以離線，查看能否通過將詢問排序簡化查詢過程

3、套路：將圖轉為樹，然後樹上倍增查詢

[BZOJ 4144] Petrol