一、引言

哈嘍大家好，今天要講的是圖論中的一個經典的算法。是一種叫Dijkstra算法的東東。這個算法是幹什麽用的呢。首先大家先看下面這幅圖：

這個東西是什麽呢。我們可以這樣理解，假如A到F表示6個地點。那些連接線就是道路。連接線上的數字就是兩個地點間的距離。這樣講是不是很直觀呢。好了，假如博主家在A點，博主的女神家在F點，有一天博主想去女神家，就有很多條路線可以走。可是博主很懶誒，肯定就想走最短的路線。那麽，怎麽才能很快的就求解出最短的路線呢。Dijkstra算法就是用來解決這樣的問題的。

二、Dijkstra算法的思想

Dijkstra

三、Dijkstra算法步驟

接下來的講解， 可能有點生澀，我會先寫出來再慢慢解釋。

首先，我們要先確定我們的起點。在這裏我們定我們的起點為A

準備工作做完了，我們開始吧。

(1) 首先從(A, 0)開始，A端點所連接的兩個點分別是(B, 5)和(C, 1)。我們先把(B, 5)和(C, 1)存到Box裏，並且根據大小來排序（最小排左邊）。如下圖

顯然，(C, 1)是最小的，因此，A點到下一個點的最短路線點是(C, 1)。我們不妨再創建一個Box吧，稱之為Box3吧。稱Box3是因為有3行。第一行表示圖上所有的地點，第二行表示對於第一行地點的前一個最短路線點，第三行表示第一行的地點與原點的距離。如下：

大家可以看到， 第二行第一列，因為我們的A就是起點，在A之前並沒有什麽點，因此打×，下面的0表示無的意思。因為我們現在求出我們的(C, 1)是我們的下一個最短路線點，並且C是從A走過去的，故第二行第三列是A ，其下面的1表示從起點到C的最短距離為1。

(2) 好了，現在，既然確定了(A, 0)的下一個點是(C, 1)。接下來，我們要從(C, 1)出發，我們看看，跟(C, 1)連接的點有(B, 3)點(註意，是3不是2，我們說過是與起點的距離，即A-C-B)和(D, 5)點以及(E, 9)。把其填入Box裏面並排序。如下：

咦，這時候你可能會有疑問，為什麽(C, 1)不見了，而且有兩個B，一個是(B, 3)一個是(B, 5)。別急，我正要講。當我們確定好最短距離的點後，我們就將其從Box裏面剔除掉，因為C已經被用過了。而至於為何有兩個B。大家還記得，當我們直接從A到B的時候，距離是5；而當我們從A到C到B的時候，距離是3。因此就有兩個了。現在，在這個Box裏面我們找到最小的數，就是(B, 3)。這樣我們就可以在Box3也填入我們的數，如下：

(3) 好的，讓我們繼續，接下來我們從(B, 3)開始，由於B的連接點只剩(D, 4)(已經用過的點不能再用，故A和C不算。畢竟我們肯定不走回頭路呀hhh)。填入Box並排序，可以得到(D, 4)是最小的數，填入Box3中。如下

(4) 好了，接下來我們從(D, 4)出發，跟(D, 4)連接的有(E, 7)和(F, 10)，填入Box並排序，可以得到(E, 7)是最小的數，填入Box3中。如下：

(5) 好，接下來我們從(E, 7)出發，誒這時候發現，E已經沒有可連接的點了。那Box裏面只剩(F, 10)了。把Box3最後一列填完。那我們就找到了最短去博主女神家的路了。

現在，我們知道從A到F的最短路線和距離分別是A-C-B-D-F和10。現在我們要談談Box3，當我們完成這個表後，我們不僅可以馬上知道博主家到博主女神家的最短路線。還能知道任意點到起點的最短路線呢。比如說，我們想知從A到E的最短路線。看Box3，E的上一點是D，D的上一點是B，B的上一點是C，C的上一點是A。這樣就得到A-C-B-D-E是最短路線。而Box3中E最下方的7就表示最短距離值哦。現在你們是不是搞懂了呢~^_^。

四、Dijkstra的Matlab實現

function [distance, path] = dijkstra(A, sn, en)
% [DISTANCE,PATH] = DIJKSTRA(A, SN, EN)
% returns the distance and path between the start node and the end node.
%
% A: adjcent matrix
% sn: start node
% en: end node

%% 初始化
%節點的數量n
n = length(A);
%以sn為起點的矩陣（distance vector）
D = A(sn,:);

vi = ones(1, n);    %讓節點都可見
vi(sn) = 0;         %起點節點是不可見的 

%parent：即Box3中的第二行
parent = zeros(1, n);

%% 計算最短距離

for i = 1: n-1
    temp = zeros(1, n);
    count = 0;
    %把distance vector裏面非頂點的距離值放進temp，以便後續比大小取出最短距離
    for j = 1: n
        if(vi(j))
            temp = [temp(1: count) D(j)];
        else
            temp = [temp(1: count) inf];
        end
        count = count + 1;
    end
    
    %找出最短距離的點，並設定為下次路徑的頂點
    [~, index] = min(temp);
    vi(index) = 0;%讓頂點不可見
    for k = 1: n
        if A(index, k) + D(index) < D(k)
            D(k) = A(index, k) + D(index);
            parent(k) = index;  %算出k的上一層最短路徑點，即Index
        end
    end
end
%%叠代完成後，distance矩陣的數值都是相對應的最短距離
distance = D(en);

%%求出最短路徑

path = [];
t = en; path(1) = t; count = 1;
while t ~= sn && t > 0
    p = parent(t);
    path = [p path(1:count)];    %從path裏面 不斷往左邊放路徑點,最右邊是終點
    t = p;
    count = count + 1;
end
path(1) = sn;
path = path(1: count);

驗證一下，我們根據這篇的圖例寫出鄰接矩陣（這裏我當大家知道什麽是鄰接矩陣，不知道的自己百度一下哈）。得到如下：

A = [0 5 1 5 9 inf;
     5 0 2 1 inf inf;
　　　1 2 0 4 8 inf;
　　　inf 1 4 0 3 6;
　　　inf inf 8 3 0 inf;
　　　inf inf inf 6 inf 0];        

然後，因為我們要算A到F的最短距離，因此sn = 1, en = 6。故在matlab中輸入：

[distance, path]=dijkstra(A, 1, 6)

　　最後就得到如下結果：

distance =
    10
path =
     1     3     2     4     6

1-3-2-4-6翻譯過來也就是A-C-B-D-F。跟我們前面分析的一致。故正確。

數學建模法-Dijkstra算法