一、概述

二分查找是針對有序數列的，對無序數列是無效的，在有序序列中使用二分查找能大大提高查找效率，通常能將時間按復雜度從O(n)降至O(logn)。

二、查找某數的位置（或存在性）

遞歸：

 1 //返回"-1"表示為找到
 2 //否則返回目標的下標（若有多個，只是其中一個）
 3 int binary_searchs(int *arr, int target, int l, int r)
 4 {
 5     if (l > r)  return -1;            
 6     int mid = (l + r) >> 1;
 7     if (arr[mid] == target) 
 
 8         return mid;
 9     else if (arr[mid] > target)
10         binary_search(arr, target, l, mid - 1);
11     else 
12         binary_search(arr, target, mid + 1, r);
13 }

非遞歸：

 1 //返回"-1"表示為找到
 2 //否則返回目標的下標（若有多個，只是其中一個）
 3 int binary_searchs(int * arr, int x, int l, int r)
 4 {
 5     int lt = l, rt = r;
 
 6     while (lt <= rt)
 7     {
 8         int mid = (lt + rt) >> 1;
 9         if (arr[mid] == x)  return mid;
10         else if (arr[mid] < x)
11             lt = mid + 1;
12         else
13             rt = mid - 1;
14     }
15     return -1;
16 }

三、查找某數出現的次數

遞歸：

 1 //返回target的出現次數
 2
 
 //返回0意味著不存在
 3 int binary_search(int *arr, int target, int l, int r)
 4 {
 5     if (l > r)  return 0;
 6     int mid = (l + r) >> 1;
 7     if (arr[mid] == target)
 8         return 1 + binary_search(arr, target, l, mid - 1) + binary_search(arr, target, mid + 1, r);
 9     else if (arr[mid] > target)
10         binary_search(arr, target, l, mid - 1);
11     else
12         binary_search(arr, target, mid + 1, r);
13 }

遞歸（優化版）：如果有序數列中，目標元素占大多數，二分法會退化成逐一遍歷，O(logn)增至O(n),我們要預防這種情況，所以當找到目標元素時，盡可能向兩邊去找目標元素。

 1 //返回target的出現次數
 2 //返回0意味著不存在
 3 int binary_search(int *arr, int target, int l, int r)
 4 {
 5     if (l > r)  return 0;
 6     int mid = (l + r) >> 1;
 7     if (arr[mid] == target)
 8     {
 9         int cnt1, cnt2;
10         cnt1 = cnt2 = mid;
11         if (((cnt1 - 1) >= l) && (arr[cnt1] == arr[cnt1 - 1]))  cnt1--;
12         if (((cnt2 + 1) <= r) && (arr[cnt2] == arr[cnt2 + 1]))  cnt2++;
13         return 1 + (cnt2 -cnt1) + binary_search(arr, target, l, cnt1 - 1) + binary_search(arr, target, cnt2 + 1, r);
14     }
15     else if (arr[mid] > target)
16         binary_search(arr, target, l, mid - 1);
17     else
18         binary_search(arr, target, mid + 1, r);
19 }

非遞歸：我覺得這個非遞歸不好寫，主要是找到目標元素時，在前一部分和後一部分也有可能存在目標元素，不用遞歸的方式不好寫。以後寫出來了再來補吧。

二分查找的遞歸和非遞歸寫法