級數入門（二）泰勒級數
阿新 • • 發佈：2018-07-21
clas 困難 導數 一個 alt 相等 函數 pan inf
\[g''(x)=2a_2,g''(0)=2a_2\]
多項式函數是長這樣的函數：
\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n\]
它有一個很\(Nice\)的特點：代人\(x\)，在\(O(n)\)的時間內就可以求出\(f(x)\)，沒有任何障礙.
但是這樣的函數：
\[g(x)=e^x\]
\[h(x)=sin x\]
想得到\(g(3)\)或是\(h(7)\)就比較困難了。因此我們需要用多項式函數去"取代"這些奇怪的函數。
逼近\(f(x)=e^x\)在x靠近0時的函數值
step1：用\(y=a_0+a_1x\)去逼近它.
具體的方法是讓它的斜率等於\(f(x)\)在\(x=0\)時的導數：1
讓直線過\((0,1)\)
效果如下圖：
在\(x\)離\(0\)很近的時候還是比較精確的.
step2：用\(g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\)這個二次多項式去逼近它.
具體方法是讓它在\(x=0\)處的函數值、導數值、二階導數值與\(f(x)\)相等.
\[f(x)=e^x,f(0)=1\]
\[f'(x)=e^x,f'(0)=1\]
\[f''(x)=e^x,f''(0)=1\]
再看這個二次多項式：
\[g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2,g(0)=a_0\]
\[g'(x)=a_1+2a_2x,g'(0)=a_1\]
\[g''(x)=2a_2,g''(0)=2a_2\]
因為要讓\(f(x),f'(x),f''(x)\)與\(g(x),g'(x),g''(x)\)分別對應相等，所以：
\[a_0=1,a_1=1,2a_2=1\]
所以\(g(x)=1+x+\frac{x^2}{2}\)
效果如下圖.
已經非常接近了呢.
step3：用\(g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\)這個二次多項式去逼近它.
級數入門（二）泰勒級數