LOJ #2721. 「NOI2018」屠龍勇士(set + exgcd)
題意
LOJ #2721. 「NOI2018」屠龍勇士
題解
首先假設每條龍都可以打死,每次拿到的劍攻擊力為 \(ATK\) 。
這個需要支持每次插入一個數,查找比一個 \(\le\) 數最大的數(或者找到 \(>\) 一個數的最小數),刪除一個數。
這個東西顯然是可以用 std :: multiset<long long>
來處理的(手寫權值線段樹或者平衡樹也行)。
對於每一條龍我們只能剛好一次秒殺,並且要恰好算血量最後為 \(0\)(一波帶走)。
然後就轉化成求很多個方程:
\[
\begin{cases}
x \times ATK_1 \equiv a_1 \pmod {p_1} \~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \vdots \x \times ATK_n \equiv a_n \pmod {p_n} \\end{cases}
\]
求最小正整數解 \(x\) 滿足這些所有方程。
如果把 \(ATK_i\) 除到右邊去,也就是
\[
x \equiv \frac{a_i}{ATK_i} \pmod {p_i}
\]
就轉化成求模線性方程組的最小整數解了,可以參考 我的數論總結 ,但是那個板子有個地方需要 慢速乘 。
這個需要用 \(exgcd\) 計算逆元,如果沒有逆元那麽對於這個方程是無解的。
但是這個有點特殊情況,也就是 \(\gcd(ATK_i, a_i, p_i) > 1\) 的時候,需要約去 \(gcd\) 。
比如 \(2x \equiv 8 \pmod {36}\) 的時候,顯然 \(x = 4\) 是其中的一個解,但 \(2\)
但將方程轉化後 \(x \equiv 4 \pmod {18}\) 就是等價於原來方程的另一個可行方程。
然後如果這個方程仍然沒有逆元的話就是真的無解了。
如果合並方程組中無解那也是無解。
還有一個地方對於 \(p_i = 1\) 的情況,解出來是 \(x \equiv 0 \pmod {1}\) 。
這個需要給答案有一個下界 \(a_i\) ,最後要一直加上 \(lcm\) 使得它不小於這個下界。
然後各種地方註意會爆 long long
,慢速乘就好了。(掛了 \(15pts\) 。。)
代碼
#include <bits/stdc++.h> #define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i) #define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i) #define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a)) #define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a)) #define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl #define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__) using namespace std; typedef long long ll; inline ll read() { ll x = 0, fh = 1; char ch = getchar(); for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1; for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); return x * fh; } void File() { freopen ("dragon.in", "r", stdin); freopen ("dragon.out", "w", stdout); } void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { if (!b) x = 1, y = 0; else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x; } inline ll Mult(ll x, ll y, ll Mod) { ll res = 0; y = (y % Mod + Mod) % Mod; for (; y; y >>= 1, (x += x) %= Mod) if (y & 1) (res += x) %= Mod; return res; } const int N = 1e5 + 1e3; namespace Equations { int n; ll mod[N], rest[N]; ll Solve() { For (i, 1, n - 1) { ll a = mod[i], b = mod[i + 1], c = rest[i + 1] - rest[i], gcd = __gcd(a, b), k1, k2; if (c % gcd) return - 1; a /= gcd; b /= gcd; c /= gcd; Exgcd(a, b, k1, k2); k1 = Mult(k1, c, b); mod[i + 1] = mod[i] / __gcd(mod[i], mod[i + 1]) * mod[i + 1] ; rest[i + 1] = (mod[i] * k1 % mod[i + 1] + rest[i]) % mod[i + 1]; } return rest[n]; } void Out() { For (i, 1, n) printf ("%lld %lld\n", mod[i], rest[i]); } }; multiset<ll> S; inline ll Find(ll x) { multiset<ll> :: iterator it = S.upper_bound(x); if (it != S.begin()) -- it; ll res = *it; S.erase(it); return res; } int n, m; ll a[N], p[N], atk[N], award[N]; inline ll Get_Inv(ll bas, ll Mod) { if (__gcd(bas, Mod) != 1) return -1; static ll x, y; Exgcd (bas, Mod, x, y); return (x % Mod + Mod) % Mod; } int main () { File(); int cases = read(); while (cases --) { n = read(); m = read(); For (i, 1, n) a[i] = read(); For (i, 1, n) p[i] = read(); For (i, 1, n) award[i] = read(); For (i, 1, m) { ll x = read(); S.insert(x); } For (i, 1, n) atk[i] = Find(a[i]), S.insert(award[i]); S.clear(); Equations :: n = n; bool flag = true; ll ans = 0, lcm = 1; For (i, 1, n) { ll gcd = __gcd(__gcd(atk[i], p[i]), a[i]); a[i] /= gcd; atk[i] /= gcd; p[i] /= gcd; if (p[i] == 1) { ans = max(ans, a[i] / atk[i] + (a[i] % atk[i] ? 1 : 0)); } ll tmp = Get_Inv(atk[i], p[i]); if (tmp == -1) { flag = false; break; } Equations :: mod[i] = p[i]; Equations :: rest[i] = Mult(a[i] % p[i], tmp % p[i], p[i]); lcm = lcm / __gcd(lcm, p[i]) * p[i]; } if (!flag) { puts("-1"); continue ; } ll tmp = Equations :: Solve(); if (tmp == -1) { puts("-1"); continue ; } if (tmp < ans) { ll gap = (ans - tmp) / lcm; tmp += gap * lcm; while (tmp < ans) tmp += lcm; while (tmp - lcm > ans) tmp -= lcm; } printf ("%lld\n", tmp); } #ifdef zjp_shadow cerr << (double) clock() / CLOCKS_PER_SEC << endl; #endif return 0; }
LOJ #2721. 「NOI2018」屠龍勇士(set + exgcd)