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多項式乘法

題目描述

給定一個n次多項式F(x)，和一個m次多項式G(x)。

請求出F(x)和G(x)的卷積。

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行2個正整數n,m。

接下來一行n+1個數字，從低到高表示F(x)的系數。

接下來一行m+1個數字，從低到高表示G(x))的系數。

輸出格式：

一行n+m+1個數字，從低到高表示F(x)∗G(x)的系數。

輸入輸出樣例

1 2
1 2
1 2 1

1 4 5 2

說明

保證輸入中的系數大於等於 0 且小於等於9。

對於100%的數據： $n, m \leq {10}^6$ , 共計20個數據點，2s。

數據有一定梯度。

空間限制：256MB

　　分析：

　　沒錯，這是一道FFT模板，於是我們愉快地用NTT把它A了。

　　平常用的較多的都是FFT，但是FFT使用的是復數，需要開double類型，常數會比較大。但有時候我們需要求的都是整形，那麽用NTT（快速數論變換）就可以把常數降低很多。具體實現理論和FFT基本無異，不過我們要把單位根換成原根，因為原根也滿足單位根的性質，最後就可得到一個結論：$w_n \equiv g^{\frac {p-1} {n}} \pmod p$。具體的理論推薦這位大佬的博客。（吐槽一句，為什麽開了O2之後不管是FFT還是NTT都反而更慢了？？？難道是我的代碼寫得太優秀？？？）

　　Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e6+7;
const int mod=998244353;
int n,m,lim,r[N];
int G=3,Gi=332748118;
ll a[N],b[N];
inline ll read()
{
    char ch=getchar();ll num=0;bool flag=false;
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘
 
-‘)flag=true;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){num=num*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return flag?-num:num;
}
inline void Swap(ll &x,ll &y)
{
    x^=y,y^=x,x^=y;
}
inline ll power(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y){
        if(y&1)ret=(ret*x)%mod;
        y>>=1;x=(x*x)%mod;}
    return ret;
}
inline void ntt(ll *A,int type)
{
    for(int i=0;i<lim;i++)
    if(i<r[i])Swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
        ll wn=power((type==1)?G:Gi,(mod-1)/(mid<<1));
        for(int j=0;j<lim;j+=(mid<<1)){
            ll w=1;
            for(int k=0;k<mid;w=(w*wn)%mod,k++){
                ll x=A[j+k],y=A[mid+j+k]*w%mod;
                A[j+k]=(x+y)%mod;
                A[mid+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
        } 
    }
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=(read()+mod)%mod;
    for(int i=0;i<=m;i++)b[i]=(read()+mod)%mod;
    m+=n;n=0;
    for(lim=1;lim<=m;lim<<=1)n++;
    for(int i=0;i<lim;i++)
    r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(n-1));
    ntt(a,1);ntt(b,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(a[i]*b[i])%mod;
    ntt(a,-1);ll inv=power(lim,mod-2);
    for(int i=0;i<=m;i++)
    printf("%lld ",(a[i]*inv)%mod);
    return 0;
} 

洛谷P3803 【模板】多項式乘法 [NTT]