P2258 子矩陣

題目描述

給出如下定義：

子矩陣：從一個矩陣當中選取某些行和某些列交叉位置所組成的新矩陣（保持行與列的相對順序）被稱為原矩陣的一個子矩陣。
例如，下面左圖中選取第 2 、 4行和第 2 、 4 、5 列交叉位置的元素得到一個 \(2 \times 3\)的子矩陣如右圖所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一個\(2 \times 3\)的子矩陣是

4 7 4

8 6 9

相鄰的元素：矩陣中的某個元素與其上下左右四個元素（如果存在的話）是相鄰的。

矩陣的分值：矩陣中每一對相鄰元素之差的絕對值之和。

本題任務：給定一個\(n\)行\(m\)列的正整數矩陣，請你從這個矩陣中選出一個\(r\)行\(c\)列的子矩陣，使得這個子矩陣的分值最小，並輸出這個分值。

(本題目為2014NOIP普及T4)

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行包含用空格隔開的四個整數\(n,m,r,c\) ，意義如問題描述中所述，每兩個整數之間用一個空格隔開。

接下來的\(n\)行，每行包含\(m\)個用空格隔開的整數，用來表示問題描述中那個\(n\)行\(m\)列的矩陣。

輸出格式：

一個整數，表示滿足題目描述的子矩陣的最小分值。

數據說明

對於\(50\%\)的數據， \(1≤n≤12,1≤m≤12\)，矩陣中的每個元素\(1 ≤ a_{ij} ≤ 20\)

對於\(100\%\)的數據，\(1 ≤ n ≤ 16,1 ≤ m ≤ 16\)，矩陣中的每個元素\(1 ≤ a_{ij} ≤ 1,000,1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m\)。

感覺這個題不難想，但不知道為什麽做了好久啊。

數據很小，想到狀壓

但我們發現每一行的排布是一樣的，那就不狀壓了

搜索每一行的排列，即從某一行選擇哪些列

然後對選擇哪些行做背包即可

復雜度：\(O(C_m^cn^2(c+r))\)

Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int abs(int x){return x>0?x:-x;}
const int N=17;
int dp[N][N],n,m,r,c,g[N][N],cho[N],cal[N][N],cal0[N],ans=0x3f3f3f3f;
void init()
{
    memset(cal,0,sizeof(cal));
    memset(cal0,0,sizeof(cal0));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=c;k++)
                cal[i][j]+=abs(g[i][cho[k]]-g[j][cho[k]]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int k=2;k<=c;k++)
            cal0[i]+=abs(g[i][cho[k]]-g[i][cho[k-1]]);
}
void work()
{
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=r;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=0;k<j;k++)
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+cal[k][j]+cal0[j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=min(ans,dp[r][i]);
}
void dfs(int dep,int s)
{
    if(dep==c+1)
    {
        init();
        work();
        return;
    }
    int rr=m+dep-c;
    for(int i=s;i<=rr;i++)
    {
        cho[dep]=i;
        dfs(dep+1,i+1);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&g[i][j]);
    dfs(1,1);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
 

2018.7.28

洛谷 P2258 子矩陣 解題報告