博弈學習筆記(未完成)
博弈
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前言
本博文分三部分,第一部分簡單介紹SG函數,第二部分簡單介紹博主所理解的一些博弈模型,第三部分推薦題目以及分享做題心得,本文基本不適合初學者食用,初學者請移步下方鏈接
論文:2009賈誌豪(百度文庫可搜)
自為風月馬前卒的總結
自為風月馬前卒的題目
Part1 SG函數
優勢:可以實現對多個遊戲進行加和
計算方式:\(SG(x)=mex(SG(y))\),其中\(mex\)指集合中最小沒有出現過的自然數,\(y\)為\(x\)的後繼狀態
遊戲加和:\(SG=SG(x_1) \bigoplus SG(x_2) \bigoplus ...\bigoplus SG(x_n)\)
意義:\(SG=0\)表示先手必敗,為P狀態,否則為N狀態,先手必勝
理解:化為\(Nim\)遊戲,對於每個\(SG\)不為\(0\)的狀態總有一種方案使得\(SG\)成為\(0\)
Part2 平等博弈模型
1.巴什博弈(Bash Game)
問題:只有一堆\(n\)個物品,兩個人輪流從這堆物品中取物,規定每次至少取一個,最多取\(m\)個。最後取光者得勝
結論:\(n\%(m+1)\)為\(0\)先手必敗否則必勝
2.威佐夫博弈(Wythoff Game)
問題:有兩堆各若幹個物品,兩個人輪流同時從一到兩堆中取同樣多的物品,規定每次至少取一個,最後取光者得勝
結論:
先手必敗態的兩堆石子之差依次遞增,且每個自然數僅出現一次,先手必敗態為\((0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13)...\)
如果必敗態為\((a,b)\),\(k=(a-b)\),則\(a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}*k\)
3.尼姆博弈(Nim Game)
問題:\(n\)堆石子兩人輪流在任意一堆中取任意石子,不能不取,最多取完,取到最後一顆石子者勝
結論:\(n\)堆石子數量異或和為\(0\)則先手必敗否則必勝
Nim遊戲代表了所有平等博弈問題!!
4.Nim 遊戲擴展
問題:每次最多丟\(k\)個石子,其余規則同\(Nim\)
結論:每堆石子數量\(\%(k+1)\)後再求異或和
5.Nim k 博弈
問題:一次最多在\(k\)堆中取,其余規則同\(Nim\)
結論:把石子數二進制拆開,每位求和後\(\%(k+1)\)
6.階梯博弈
問題:有\(n\)堆石子放在\(n\)層階梯上,兩人輪流選擇一層的若幹石子,放入下一層(特別地,選擇\(1\)層的石子就被扔掉),無法操作者輸
結論:奇數層石子的數量異或和為\(0\)則先手必敗否則必勝
7.Anti-SG(反Nim遊戲)
問題:取走最後一顆石子者敗,其余規則同\(Nim\)
結論:
當且僅當以下情況先手必勝
1.整個遊戲\(SG=0\)並且沒有單一遊戲\(SG>1\)
2.整個遊戲\(SG>0\)並且至少一個單一遊戲\(SG>1\)
通過下圖來理解(QAQ之前畫錯了,更嚴謹證明請見賈誌豪的論文)
8.Multi-SG
問題:
結論:
9.Every-SG
問題:
結論:
10.翻硬幣遊戲
問題:
結論:
11.樹上刪邊遊戲
問題:
結論:
12.無向圖刪邊遊戲
問題:
結論:
13.動態減法問題
問題:
結論:
14.匹配的應用
問題:
結論:
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