學習筆記--八數碼問題
阿新 • • 發佈：2018-08-27
line 坐標 front urn 太行 size kkk syn 一點
題目鏈接
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1379
分析
經典的八數碼問題,有雙向BFS和\(IDA*\)的方法，這裏使用的是\(A*\)啟發式搜索.
簡要介紹一下\(A*\),就是對於搜索的每一個狀態設計一個評估函數\(f(state)\),表示當前狀態\(state\)到目標狀態所需代價的估計值;還有一個\(g(state)\),表示當前狀態\(state\)到目標狀態實際需要的最小代價,\(A*\)中必須保證\(f(state)<=g(state)\)才能確保在目標狀態第一次被取出時就是最優解（實際一點,比如最少的步數）並且在搜索中每個狀態只需擴展一次，設計的估價函數\(f(stste)\)
我們這裏用曼哈頓距離設計估價函數，也就是\(f(state)=\)$\sum^9_{i=1} (|posx_i-goalx_i|+|posy_i-goaly_i|) $
\(posx_i\)表示\(i\)這個數字在九宮格中的橫坐標,\(posy_i\)也就類似的。註意,我們不能統計\(0\)，否則這樣\(f(state)\)可能會大於實際代價
為了確保每個狀態都被拓展一次，我們可以采用康托展開(將\(1-n\)的全排列映射成\(1-n!\)中的一個數)或是哈希表(unordered_map/pb_ds::gp_hash_table/map)
同時還要註意,八數碼問題有時候是沒有解的,我們將九宮格除空格之外的數按從左到右,再從上到下的順序排成一列數來表示每一個狀態，如果初始狀態和目標狀態的逆序對個數奇偶性不同的話是無解的,可以提前判斷一下是否有解來提高效率
題目:
P1379 八數碼難題
題目鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1379
非常簡單,甚至不用判斷無解
代碼:
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cctype> #include <queue> #include <utility> #include <cmath> #include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp> #include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp> #define ll long long #define ri register int #define ull unsigned long long using std::pair; using std::swap; using std::abs; using std::priority_queue; using namespace __gnu_pbds; template <class T>inline void read(T &x){ x=0;int ne=0;char c; while(!isdigit(c=getchar()))ne=c==‘-‘; x=c-48; while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48; x=ne?-x:x;return ; } const int maxn=5; const int inf=0x7fffffff; const int dx[4]={-1,0,0,1},dy[4]={0,-1,1,0}; int sta[maxn][maxn]; ll st,goal; gp_hash_table <ll,bool>g; pair<int,int>pos[10]; struct Sta{ ll a; int s,f; Sta(){;} Sta(ll _a,int _s,int _f){a=_a,s=_s,f=_f;} bool operator <(const Sta &b)const{ return f>b.f; } }; int bx,by;//0位置 inline int get_f(){//估價函數 int ans=0; for(ri i=1;i<=3;i++){ for(ri j=1;j<=3;j++){ if(state[i][j])ans+=abs(i-pos[sta[i][j]].first)+abs(j-pos[sta[i][j]].second); } } return ans; } inline ll turn_num(){//轉為數字 ll ans=0; for(ri i=1;i<=3;i++){ for(ri j=1;j<=3;j++){ ans=ans*10+sta[i][j]; } } return ans; } inline void turn_sta(ll num){//轉為九宮格 for(ri i=3;i>=1;i--){ for(ri j=3;j>=1;j--){ sta[i][j]=num%10; num=num/10; if(!sta[i][j])bx=i,by=j; } } return ; } inline void astar(){ ll now,nxt; int x,y,z; Sta tmp; priority_queue<Sta>q; while(q.size())q.pop(); turn_sta(st); q.push(Sta(st,0,get_f())); g[st]=1; while(q.size()){ tmp=q.top();q.pop(); now=tmp.a,z=tmp.s; if(now==goal){ printf("%d\n",z); return ; } turn_sta(now); for(ri i=0;i<4;i++){ x=bx+dx[i],y=by+dy[i]; if(x>=1&&x<=3&&y>=1&&y<=3){ swap(sta[bx][by],sta[x][y]); nxt=turn_num(); if(g[nxt]){ swap(sta[bx][by],sta[x][y]); continue; } g[nxt]=1; q.push(Sta(nxt,z+1,z+1+get_f())); swap(sta[bx][by],sta[x][y]); } } } puts("unsolvable"); return ; } int main(){ /*230187546*/ int x,y,z; pos[0].first=2,pos[0].second=2; pos[1].first=1,pos[1].second=1; pos[2].first=1,pos[2].second=2; pos[3].first=1,pos[3].second=3; pos[4].first=2,pos[4].second=3; pos[5].first=3,pos[5].second=3; pos[6].first=3,pos[6].second=2; pos[7].first=3,pos[7].second=1; pos[8].first=2,pos[8].second=1; read(st); goal=123804765; astar(); return 0; }
POJ1077 Eight
題目鏈接:http://poj.org/problem?id=1077
要打印方案,我用了一個\(naive\)的方法,就是記錄每個狀態是從哪個狀態轉移過來的(\(A*\)保證擴展到每一個狀態時一定是花費最少的步數)，同時再用一個哈希表記錄它是進行哪個操作轉移過來的，最後遞歸打印即可
當然還有其他方法這裏不贅述.由於POJ好像不資瓷pbds和unordered_map,只好用map
代碼:
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <queue>
#include <utility>
#include <cmath>
#include <map>
#define ll long long
#define ri register int
#define ull unsigned long long
using namespace std;
template <class T>inline void read(T &x){
x=0;int ne=0;char c;
while(!isdigit(c=getchar()))ne=c==‘-‘;
x=c-48;
while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=5;
const int inf=0x7fffffff;
const int dx[4]={-1,0,0,1},dy[4]={0,-1,1,0};
const char ch[4]={‘u‘,‘l‘,‘r‘,‘d‘};
int sta[maxn][maxn];
ll st,goal;
map <ll,ll> pre;
map <ll,int> dir;
pair<int,int>pos[10];
struct Sta{
ll a;
int s,f;
Sta(){;}
Sta(ll _a,int _s,int _f){a=_a,s=_s,f=_f;}
bool operator <(const Sta &b)const{
return f>b.f;
}
};
int bx,by;//0位置
inline int get_f(){
int ans=0;
for(ri i=1;i<=3;i++){
for(ri j=1;j<=3;j++){
if(sta[i][j]==0)continue;
ans+=abs(i-pos[sta[i][j]].first)+abs(j-pos[sta[i][j]].second);
}
}
return ans;
}
inline ll turn_num(){
ll ans=0;
for(ri i=1;i<=3;i++){
for(ri j=1;j<=3;j++){
ans=ans*10+sta[i][j];
}
}
return ans;
}
inline void turn_sta(ll num){
for(ri i=3;i>=1;i--){
for(ri j=3;j>=1;j--){
sta[i][j]=num%10;
num=num/10;
if(!sta[i][j])bx=i,by=j;
}
}
return ;
}
void print(ll x){
/*234150768*/
if(x==st)return ;
print(pre[x]);
putchar(ch[dir[x]]);
return ;
}
inline void astar(){
ll now,nxt;
int x,y,z;
Sta tmp;
priority_queue<Sta>q;
while(q.size())q.pop();//puts("wtf");
turn_sta(st);
q.push(Sta(st,0,get_f()));
while(q.size()){
tmp=q.top();q.pop();
now=tmp.a,z=tmp.s;
if(now==goal){
//printf("%d\n",z);
//printf("%lld***\n***",pre[st]);
print(goal);
return ;
}
//printf("*%lld\n",now);
turn_sta(now);
for(ri i=0;i<4;i++){
x=bx+dx[i],y=by+dy[i];
if(x>=1&&x<=3&&y>=1&&y<=3){
swap(sta[bx][by],sta[x][y]);
nxt=turn_num();
if(!pre[nxt]){
pre[nxt]=now;
dir[nxt]=i;
q.push(Sta(nxt,z+1,z+1+get_f()));
}
swap(sta[bx][by],sta[x][y]);
}
}
}
puts("unsolvable");
return ;
}
int main(){
int num[10];
char x[2];
pos[0].first=3,pos[0].second=3;
pos[1].first=1,pos[1].second=1;
pos[2].first=1,pos[2].second=2;
pos[3].first=1,pos[3].second=3;
pos[4].first=2,pos[4].second=1;
pos[5].first=2,pos[5].second=2;
pos[6].first=2,pos[6].second=3;
pos[7].first=3,pos[7].second=1;
pos[8].first=3,pos[8].second=2;
//read(st);
st=0;
for(ri i=1;i<=9;i++){
scanf("%s",x);
if(x[0]==‘x‘)st=st*10,num[i]=inf;
else st=st*10+x[0]-‘0‘,num[i]=x[0]-‘0‘;
}
//printf("%lld\n",st);
int cnt=0;
for(ri i=1;i<=9;i++){
if(num[i]==inf)continue;
for(ri j=i+1;j<=9;j++){
if(num[j]<num[i]){cnt++;}
}
}
//printf("%d\n",cnt);
if(cnt%2==1){
puts("unsolvable");
}
else{
pre[st]=19260817;
goal=123456780;
astar();
}
return 0;
}UVA652 Eight
題目鏈接: https://cn.vjudge.net/problem/UVA-652
這道題由於多組數據發現各個\(A*\)好像不太行,於是就先一遍BFS擴展出所有狀態同時記錄路徑,這一次沒用哈希表用了康拓展開，然而不知道為何WA掉了。。。
代碼:
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <queue>
#include <utility>
#include <iostream>
#define ll long long
#define ri register int
#define ull unsigned long long
using namespace std;
template <class T>inline void read(T &x){
x=0;int ne=0;char c;
while(!isdigit(c=getchar()))ne=c==‘-‘;
x=c-48;
while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=5;
const int inf=0x7fffffff;
const int dx[4]={-1,0,0,1},dy[4]={0,-1,1,0};
const char ch[4]={‘u‘,‘l‘,‘r‘,‘d‘};
const int fac[10]={1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};
int sta[maxn][maxn];
ll st,goal;
struct Sta{
ll a;int v;
Sta(){;}
Sta(ll _a,int _v){a=_a,v=_v;}
};
int bx,by;//0位置
int num[10],len[500005];
char path[500005][75];
inline ll turn_num(){
ll ans=0;
for(ri i=1;i<=3;i++){
for(ri j=1;j<=3;j++){
ans=ans*10+sta[i][j];
num[(i-1)*3+j]=sta[i][j];
}
}
return ans;
}
inline int cal_cantor(){
int sml=0,x=0;
for(ri i=1;i<=9;i++){
sml=0;
for(ri j=i+1;j<=9;j++){
if(num[j]<num[i])++sml;
}
x+=fac[9-i]*sml;
}
return x+1;
}
inline void turn_sta(ll p){
for(ri i=3;i>=1;i--){
for(ri j=3;j>=1;j--){
sta[i][j]=p%10;
p=p/10;
if(sta[i][j]==9)bx=i,by=j;
}
}
return ;
}
bool vis[500005];
inline void bfs(){
ll now,nxt;
int x,y,z,pre_val,val;
Sta tmp;
queue<Sta>q;
while(q.size())q.pop();//puts("wtf");
turn_sta(goal);
z=turn_num();
val=cal_cantor();
vis[val]=1;
q.push(Sta(goal,val));
while(q.size()){
tmp=q.front();q.pop();
now=tmp.a,pre_val=tmp.v;
turn_sta(now);
for(ri k=0;k<4;k++){
x=bx+dx[k],y=by+dy[k];
if(x>=1&&x<=3&&y>=1&&y<=3){
swap(sta[bx][by],sta[x][y]);
nxt=turn_num();
val=cal_cantor();
//printf("%d %d %lld %d %d\n",x,y,nxt,val,pre_val);
if(!vis[val]){
vis[val]=1;
for(ri i=1;i<=len[pre_val];i++){
path[val][i]=path[pre_val][i];
}
len[val]=len[pre_val];
path[val][++len[val]]=ch[k];
q.push(Sta(nxt,val));
}
swap(sta[bx][by],sta[x][y]);
}
}
}
return ;
}
int main(){
/*234150768*/
/*123456780*/
/*
2
2 3 4 1 5 x 7 6 8
2 3 4 1 5 x 7 6 8
*/
std::ios_base::sync_with_stdio(0);
cin.tie(NULL);
int t,val;
char kkk;
read(t);
goal=123456789;
memset(vis,0,sizeof(vis));
bfs();
while(t--){
st=0;
for(ri i=1;i<=9;i++){
cin>>kkk;//scanf("%s",x);
if(kkk==‘x‘)st=st*10,num[i]=9;
else st=st*10+kkk-‘0‘,num[i]=kkk-‘0‘;
}
val=cal_cantor();
//printf("%d %d\n",val,len[val]);
if(!vis[val]){
puts("unsolvable");
}
else{
for(ri i=len[val];i>=1;i--)putchar(path[val][i]);
puts("");
}
if(t)puts("");
}
return 0;
}學習筆記--八數碼問題