Description

給定n,m，求 模10^9+7的值。

Input

僅一行，兩個整數n,m。

Output

僅一行答案。

Sample Input

100000 1000000000

Sample Output

857275582
數據規模：
1<=n<=10^5，1<=m<=10^9，本題共4組數據。

Solution

這題還真是要一點函數基礎
設 \(S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(in)\) ，所以答案就是 \(\sum_{i=1}^nS(i,m)\)
對於一個 \(S(n,m)\) ，尋找它的性質，發現：

• 當 \(\mu(n)=0\) 時，\(S(n,m)=\prod_ip_i^{a_i-1}S(\prod_ip_i,m)\)
• 當 \(|\mu(n)|=1\) 時，\(S(n,m)=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})S(d,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)\)

第一個性質很顯然吧，類似於線性篩嘛，如果 \(i\%j==0\) ，\(\varphi(ij)=j\times\varphi(i)\)
第二個性質證明如下：

我們試著找出 \(\varphi(in)\) 的式子
設 \(gcd(i,n)=x\) ，同時，\(n=x \times y\) ，由於 \(|\mu(n)|=1\) ，所以 \(gcd(x,y)=1\)
那麽，\(\varphi(in)=x\times\varphi(y)\varphi(i)\)

知道了這兩個性質，便直接遞歸求解就好了
當 \(n=1\) 的時候，用杜教篩求解
復雜度的話我不會求啊，大概是 \(S(n,m)\) 式子中 \(n\) 的取值有 \(O(n)\) 種，\(m\) 的取值有 \(O(\sqrt{m})\) 種，杜教篩 \(O(m^{\frac{3}{4}})\) ，\(d\) 的取值 \(O(\sqrt{n})\)
然後最後復雜度是 \(O(n(\sqrt{n}+\sqrt{m})+m^{\frac{3}{4}})\)
然後 \(n\sqrt{m}\) 跑不滿之類的，就可以過了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=200000+10,Mod=1e9+7;
int cnt,vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],phi[MAXN],s[MAXN],lst[MAXN];
ll ans;
std::vector<int> V[MAXN];
std::map< std::pair<int,int>,int > M;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    T data=0,w=1;
    char ch=0;
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
    x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void init()
{
    memset(vis,1,sizeof(vis));
    vis[0]=vis[1]=0;
    phi[1]=mu[1]=lst[1]=1;
    for(register int i=2;i<MAXN;++i)
    {
        if(vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1,phi[i]=i-1,lst[i]=i;
        }
        for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<MAXN;++j)
        {
            vis[i*prime[j]]=0;
            if(i%prime[j])
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
                lst[i*prime[j]]=lst[i]*lst[prime[j]];
            }
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                lst[i*prime[j]]=lst[i];
                break;
            }
        }
    }
    for(register int i=1;i<MAXN;++i)
    {
        s[i]=(s[i-1]+phi[i])%Mod;
        for(register int j=1;i*j<MAXN;++j)V[i*j].push_back(i);
    }
}
inline ll P(int n)
{
    if(n<MAXN)return s[n];
    std::pair<int,int> pr=std::make_pair(1,n);
    if(M.find(pr)!=M.end())return M[pr];
    ll res=0;
    for(register int i=2;;)
    {
        if(i>n)break;
        int j=n/(n/i);
        (res+=1ll*(j-i+1)*P(n/i)%Mod)%=Mod;
        i=j+1;
    }
    return M[pr]=((1ll*(1+n)*n/2)%Mod-res+Mod)%Mod;
}
inline ll S(int n,int m)
{
    std::pair<int,int> pr=std::make_pair(n,m);
    if(n==1)return P(m);
    if(m==0)return 0;
    if(M.find(pr)!=M.end())return M[pr];
    if(mu[n]==0)return M[pr]=1ll*(n/lst[n])*S(lst[n],m)%Mod;
    ll res=0;
    for(register int i=0,lt=V[n].size();i<lt;++i)(res+=1ll*phi[n/V[n][i]]*S(V[n][i],m/V[n][i])%Mod)%=Mod;
    return M[pr]=res;
}
int main()
{
    int n,m;read(n);read(m);init();
    for(register int i=1;i<=n;++i)(ans+=S(i,m))%=Mod;
    write(ans,'\n');
    return 0;
}

【刷題】BZOJ 3512 DZY Loves Math IV