Description

去年的Lucas非常喜歡數論題，但是一年以後的Lucas卻不那麽喜歡了。

在整理以前的試題時，發現了這樣一道題目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”，其中 表示i的約數個數。他現在長大了，題目也變難了。

求如下表達式的值：

其中 表示ij的約數個數。

他發現答案有點大，只需要輸出模1000000007的值。

Input

第一行一個整數n。

Output

一行一個整數ans，表示答案模1000000007的值。

Sample Input

2

Sample Output

8

HINT

對於100%的數據n <= 10^9。

Solution

弱化版在【刷題】BZOJ 3994 [SDOI2015]約數個數和

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=1000000+10,Mod=1e9+7;
int n,cnt,vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],s[MAXN];
std::map<int,ll> M;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    T data=0,w=1;
    char ch=0;
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
    x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void init()
{
    memset(vis,1,sizeof(vis));
    vis[0]=vis[1]=0;
    mu[1]=1;
    for(register int i=2;i<MAXN;++i)
    {
        if(vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<MAXN;++j)
        {
            vis[i*prime[j]]=0;
            if(i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else break;
        }
    }
    for(register int i=1;i<MAXN;++i)s[i]=(s[i-1]+mu[i])%Mod;
}
inline ll S(int x)
{
    if(x<MAXN)return s[x];
    if(M.find(x)!=M.end())return M[x];
    ll res=0;
    for(register int i=2;;)
    {
        if(i>x)break;
        int j=x/(x/i);
        (res+=1ll*(j-i+1)*S(x/i)%Mod)%=Mod;
        i=j+1;
    }
    return M[x]=(1-res+Mod)%Mod;
}
inline ll f(int x)
{
    ll res=0;
    for(register int i=1;;)
    {
        if(i>x)break;
        int j=x/(x/i);
        (res+=1ll*(j-i+1)*(x/i)%Mod)%=Mod;
        i=j+1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    read(n);init();
    ll res=0;
    for(register int i=1;;)
    {
        if(i>n)break;
        int j=n/(n/i);
        ll now=f(n/i);
        (res+=1ll*(S(j)-S(i-1)+Mod)%Mod*now%Mod*now%Mod)%=Mod;
        i=j+1;
    }
    write(res,'\n');
    return 0;
}
 

【刷題】BZOJ 4176 Lucas的數論