• 1、 繁分式化簡分式 ：

\(\cfrac{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}}{\frac{3}{ac}-\frac{1}{b}+\frac{4}{bc}}=\cfrac{(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c})\times abc}{(\frac{3}{ac}-\frac{1}{b}+\frac{4}{bc})\times abc}=\cfrac{bc+2ac+ab}{3b-ac+4a}\)；同乘

• 2、分式中負指數冪化為正指數冪：

\(\cfrac{a^x+a^{-x}}{a^x-a^{-x}}=\cfrac{(a^x+a^{-x})\times a^x}{(a^x-a^{-x})\times a^x}=\cfrac{a^{2x}+1}{a^{2x}-1}\)

• 3、齊次式變形，為函數求值域，三角函數化簡、變形、求值做準備：

\(z=\cfrac{a+\sqrt{2}b}{\sqrt{2}a+b}\)；分子分母同除以\(b\)變形得到，\(z=\cfrac{\frac{a}{b}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{2}t+1}\)

\(z=\cfrac{2a^2+4ab-3b^2}{a^2+ab+b^2}\)；分子分母同除以\(b^2\)變形得到，\(z=\cfrac{2(\frac{a}{b})^2+4\frac{a}{b}-3}{(\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{2t^2+4t-3}{t^2+t+1}\)

關於\(\sin\theta、cos\theta\)的一次或二次齊次式，

比如：\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齊次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)為常數)；

小結：實現了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的轉化；

比如：\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齊次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)

小結：實現了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的轉化；

再比如：\(a\sin2\theta+b\cos2\theta=\cfrac{a\sin2\theta+b\cos2\theta}{sin^2\theta+cos^2\theta}=\cfrac{a\tan\theta+b-b\tan^2\theta}{tan^2\theta+1}\)，

其余留作思考：\(\sin2\theta\)， \(\cos2\theta\)，\(1+\sin2\theta\)， \(2-\cos2\theta\)，\(3\sin2\theta-2\cos2\theta\) 等等

\(a^2-5ab+4b^2>0\)，不等式兩端同除以\(b^2\)變形得到，\((\cfrac{a}{b})^2-5\cfrac{a}{b}+4>0\)，這樣我們能得到\(\cfrac{a}{b}<1\)或\(\cfrac{a}{b}>4\)；二元變一元

• 4、除法分配律(分數裂項)

\(①\cfrac{b+c}{a}=\cfrac{b}{a}+\cfrac{c}{a}\)；

\(②\cfrac{a-b}{ab}=\cfrac{1}{b}-\cfrac{1}{a}\)；(分式變形時常用)

但是她更多的時候表示為整式形式，如\(a_n-a_{n+1}=ka_{n+1}a_n\)，

兩邊同除以\(a_{n+1}a_n\)，可以變形為\(\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{1}{a_n}=k\)；

• 5、分子常數化(化為部分分式，也可以理解為使用了變量集中策略，這樣的變形在研究函數的單調性，值域等問題時使用頻度比較高)

\(①y=\cfrac{2x-1}{x-1}=\cfrac{(2x-2)+1}{x-1}=2+\cfrac{1}{x-1}\)；

\(②y=\cfrac{2x}{x+4}=\cfrac{2}{1+\frac{4}{x}}\)；

\(③y=\cfrac{a^x-1}{a^x+1}=\cfrac{(a^x+1)-2}{a^x+1}=1-\cfrac{2}{a^x+1}\)；

\(④y=\cfrac{2x^2-4x+3}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+1}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{1}{x-1}\)；

故\(m≤8\)，當\(m=8\)時，函數不是常函數，也滿足題意，故\(m≤8\)。

• 6、分母有理化，常常為數列中的裂項相消法準備：

①\(\cfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\cfrac{1\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\cfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\)；

②\(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=\cfrac{1\cdot (\sqrt{x^2+1}+x)}{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}=\sqrt{x^2+1}+x\)；

【具體應用①】比如函數\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，則可知\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，

③\(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=\cfrac{1\cdot (\sqrt{x^2+1}-x)}{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}=\sqrt{x^2+1}-x\)；

分子有理化，常常為求函數或數列的極限或大小比較而準備：

①\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\cfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{1\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\cfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)；

②\(\sqrt{n^2+1}-n=\cfrac{\sqrt{n^2+1}-n}{1}=\cfrac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{1\cdot (\sqrt{n^2+1}+n)}=\cfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\)；

引例，\(b=\sqrt{7}-\sqrt{3}\)，\(c=\sqrt{6}-\sqrt{2}\)，比較\(b、c\)的大小。

即\(b<c\)。

• 7、配方，為二次函數對稱軸，圓錐曲線方程等準備：①②③④⑤⑥

①\(a^2\pm ab+b^2=(a\pm \cfrac{b}{2})^2+\cfrac{3}{4}b^2\)；②\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)；(常與韋達定理相關，與解析幾何或坐標系與參數方程題目相關)

③\(x^2+\cfrac{1}{x^2}=(x+\cfrac{1}{x})^2-2\)；④\(y=ax^2+bx+c=a(x+\cfrac{b}{2a})^2+\cfrac{4ac-b^2}{4a}(a\neq 0)\)(二次函數對稱軸)

⑤\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\cfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\ge 0\)(與均值不等式相關，常引申為\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac(當且僅當a=b=c時取到等號)\))

• 8、因式分解、乘法公式，常與解方程，解不等式相關：

①\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)；②\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)；

③\(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)；④\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)；

⑤\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)；⑥\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)；

實際高三數學教學和考試中的相關內容常常是這樣的：

①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；

②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；

③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；

④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；

⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；

⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-1)[x-(a+1)]\leq 0\)；

⑦\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集為\((2a，a^2+1)\)；

⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；

• 9、整體代換，常與函數的性質的變換和推導有關，

函數周期性中的變換

①、\(f(x+4)=f(x)\)或者\(f(x+2)=f(x-2)\Longrightarrow T=4\)；

②、\(f(x+a)=-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)

推導：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]\xlongequal[整體代換]{用x+a代換已知式中的x}-f(x+a)\xlongequal[代換]{用已知f(x+a)=-f(x)}-(-f(x))=f(x)\Longrightarrow T=2a\)

\(f(x+a)=b-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)

推導：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-(b-f(x))=f(x)\Longrightarrow T=2a\)

③、\(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)\Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k \Longrightarrow T=2a\);

推導：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{k}{f(x+a)}=\cfrac{k}{\cfrac{k}{f(x)}}= f(x)\Longrightarrow T=2a\)

④、\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\Longrightarrow T=6\)

或者\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\Longrightarrow T=6\)

函數對稱性(函數的奇偶性是對稱性的特例)

①、若函數\(y=f(x)\)關於原點\((0，0)\)對稱，則\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\)，反之亦成立；

②、若函數\(y=f(x)\)關於直線\(x=a\)對稱(當\(a=0\)時即關於\(y\)軸對稱)，則\(f(a+x)=f(a-x)\)，反之亦成立；

③、若函數\(y=f(x)\)滿足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函數\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=\cfrac{a+b}{2}\)對稱，反之亦成立；

④、若函數\(y=f(x)\)圖像是關於點\(A(a，b)\)對稱，則充要條件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)；抽象函數的性質的驗證

函數性質的綜合熟練掌握以下的變形和數學思想方法：比如
對稱性+奇偶性\(\Longrightarrow\)周期性的變形例子

如，已知函數\(f(x)\)是奇函數，且滿足\(f(2-x)=f(x)\)，

則由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\)

奇偶性+周期性\(\Longrightarrow\)對稱性的變形例子

如，已知函數\(f(x)\)是奇函數，且滿足\(f(x+4)=-f(x)\)，

則由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)對稱軸是\(x=2\)

對稱性+周期性\(\Longrightarrow\)奇偶性的變形例子

如，已知函數\(f(x)\)的周期是2，且滿足\(f(2+x)=f(-x)\)，

則由\(\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow\)函數\(f(x)\)是偶函數。

• 10、一元二次方程相關，設\(ax^2+bx+c=0（a\neq 0）\)的兩個根為\(x_1，x_2\)，\(\Delta=b^2-4ac\)，

①求根公式：\(x_{1，2}=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}（\Delta >0）\)；\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\cfrac{\sqrt{\Delta }}{|a|}\)；

②韋達定理：\(\begin{cases} x_1+x_2=-\cfrac{b}{a} \\ x_1x_2=\cfrac{c}{a} \end{cases}\)，如果解關於\(x_1，x_2\)的二元方程，就可以通過構造方程\(x^2+\cfrac{b}{a}x+\cfrac{c}{a}=0\)再解。

③因式分解：\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)；

④【補充】\(ax+b=0\)對所有\(x\in R\)都成立，則等價於\(a=b=0\)；\(am+bn=0\)對所有\(m，n\in R\)都成立，則等價於\(a=b=0\)；

\(ax^2+bx+c=0\)對所有\(x\in R\)都成立，則等價於\(a=b=c=0\)；\(am^2+bmn+cn^2=0\)對所有\(m，n\in R\)都成立，則等價於\(a=b=c=0\)；

• 11、三角形的基礎知識相關

①三邊關系：\(a+b>c\)且\(b+c>a\)且\(c+a>b\)，由這個關系可以推出任意兩邊之差小於第三邊；故只需要記憶一組公式即可。

②\(n\)邊形內角和\((n-2)\cdot 180^{\circ}\)；\(n\)邊形外角和：\(360^{\circ}\)；

③\(a>b \Leftrightarrow A>B\)；延伸到高中得到\(a>b \Leftrightarrow A>B\Leftrightarrow sinA>sinB \Leftrightarrow cosA<cosB\)；

• 12、指數、對數的運算

指數對數運算訓練

• 13、恒成立，夾逼定理

點評：①為什麽想到賦值\(x=2\)，是註意到\((2x)|_{x=2}=(\frac{1}{2}x^2+2)|_{x=2}\)，為了下一步利用夾逼定理。

②註意由\(k\leq f(x)\leq k\)，夾逼得到\(f(x)=k\)的結論的使用。