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題目大意

給出一個真分數 a/b，要求出幾個互不相同的埃及分數（從大到小），使得它們之和為 a/b

（埃及分數意思是分子為1的分數，詳見百度百科）

如果有多組解，則分數數量少的優先

如果分數數量一樣則分母最大的要盡量小，如果最大的分母同樣大，則第二大的分母盡量小，以此類推

為了加大難度，會給出k個不能作為分母的數

（2<=a,b<=876，k<=5 並且 a,b 互質）

首先想的是數論，但是呢

推不出來...

然後發現a,b好像不大

貌似可以搜索

但是呢

不知道上界...

那就叠代加深搜索唄

然後想想怎麽剪枝

如果知道 a/b，要怎麽求出最小 k 使 1/k < a/b 呢（註意符號）

易知 a/b 為真分數 ，a,b,k均為整數
所以 a<b
所以必定有整數 x,y 使得 x*a+y=b 且y<a
所以可得 int(b/a)=int( (x*a+y) /a )=int(x*a/a)+int(y/a) = x
因為 int(b/a)<=b/a，int(b/a)=x
所以 int(b/a)+1>b/a，x+1 > b/a
所以1/(x+1) < a/b
又 1/int(b/a)=1/x >=a/b
所以 x+1就是最小的 k 使得 1/k < a/b
所以 k=int(b/a) + 1

證明完畢

知道了 k 的下界，那還要求 k 的上界

顯然每次求的分母肯定要比上一次大（題目要求）

所以如果後面所有的分母都為 k ，加起來還沒有當前要求的數大，那就不要再搜下去了，再下去也不會有結果的

然後就可以搜了，至於判斷是否可用我用的是set

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<set>
using namespace std;
const int N=1e5+7;
set <long
 
 long> p;
long long t,A,B,n,mxdep;
long long ans[N],w[N];
bool flag;
inline long long gcd(long long a,long long b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}//gcd是為了約分
inline bool pd()
{
    for(int i=mxdep;i;i--)
        if(ans[i]!=w[i])
            return ans[i]&&ans[i]<w[i];
    return 0;
}//判斷答案是否更優
inline void dfs(long long dep,long long a,long long b,long long mi)
{
    if(dep==mxdep)
    {
        if(b%a||(b<(mi-1)*a+1)||p.count(b/a)) return;//判斷合法性
        //如果a/b可化為 1/k 的形式並且 1/k 可以選
        w[dep]=b/a;
        if(pd()) return;//判斷答案是否更優
        memcpy(ans,w,sizeof(w)); flag=1;//更新
        return;
    }
    mi=max(mi,b/a+1);//求出下界
    for(long long i=mi;i;i++)
    {
        if( (mxdep-dep+1)*b<=i*a ) return;//上界
        if(p.count(i)) continue;//判斷合法
        w[dep]=i;//記錄路徑
        long long xa=a*i-b,xb=i*b;//通分
        long long z=gcd(xa,xb);
        dfs(dep+1,xa/z,xb/z,i+1);//約分，向下一層
    }
}
int main()
{
    cin>>t;
    for(long long i=1;i<=t;i++)
    {
        flag=0; mxdep=1;
        cin>>A>>B>>n;
        long long c;
        p.clear();//細節
        while(n--) scanf("%lld",&c),p.insert(c);//存儲不合法的數
        while(mxdep++)
        {
            memset(ans,0,sizeof(ans));
            dfs(1,A,B,B/A+1);
            if(flag) break;
        }//叠代加深
        printf("Case %lld: %lld/%lld=1/%lld",i,A,B,ans[1]);
        for(int i=2;i<=mxdep;i++)
            printf("+1/%lld",ans[i]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

UVA12558 Egyptian Fractions (HARD version)（埃及分數）