數論基礎

最大公約數Gcd

int gcd(int a, int b) //a大於b
{
    return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);
}

最小公倍數Lcm

int Lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;
}

費馬小定理

費馬小定理（Fermat Theory）是數論中的一個重要定理，其內容為：假設p是質數（素數），且
Gcd（a,p）=1,那麽a^(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麽a的(p-1)次方除以p的余數恒等於1。該定理是1636年皮埃爾·德·費馬發現的。

唯一分解定理

算術基本定理，又稱為正整數的唯一分解定理，即：每個大於1的自然數均可寫為質數的積，而且這些素因子按大小排列之後，寫法僅有一種方式。（素數的分解方法唯一）
G - Pairs Forming LCM（例題）

拓展的歐幾裏得算法

素數定理

Eratosthenes篩法

逆元(inv)

1.什麽是逆元

當求解公式：(a/b)%m 時，因b可能會過大，會出現爆精度的情況，所以需變除法為乘法：
設c是b的逆元，則有bc≡1(mod m)；
則(a/b)%m = (a/b)1%m = (a/b)bc%m = ac(mod m);
即a/b的模等於ab的逆元的模；
逆元就是這樣應用的

2.求逆元的方法

(1).費馬小定理

在是素數的情況下，對任意整數都有。 如果無法被整除，則有。 可以在為素數的情況下求出一個數的逆元，，即為逆元。
題目中的數據範圍1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素數；
所以x肯定就無法被p整除啊，所以最後就得出x^(p-2)為x的逆元啦。
復雜度O(logn)

const int mod = 1000000009;
long long quickpow(long long a, long long b) {

    if (b < 0) return 0;

    long long ret = 1;

    a %= mod;

    while(b) {

        if (b & 1) ret = (ret * a) % mod;

        b >>= 1;

        a = (a * a) % mod;

    }

    return ret;
}
long long inv(long long a) {

    return quickpow(a, mod - 2);

}
 

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數論一點點總結