賞月齋源碼共享計劃 第四期 約瑟夫問題
約瑟夫問題求解及優化
問題描述
在一間房間總共有n個人，給定一個數k，然後按照如下規則去殺人：
- 所有人圍成一個圓圈，按順時針依次給所有人編號：1, 2, 3…, n
- 由編號1開始報數，按順時針方向，報到數字k的人將被殺掉
- 被殺掉的人從房間內被移走，從被殺的下一個人重新由1開始報數
- 報到數字k的人再次被殺掉，再移走，再次開始報數，一直殺到最後剩余一個人
最後剩余的人活命。
那麽，給定了 n 和 k，最後活下來的人的編號是幾？
思路一
根據問題描述，可以使用循環單鏈表模擬殺人過程：
- 表頭是1號，表尾是n號，循環單鏈表的表尾指向表頭模擬圓圈
- 指針從表頭1號開始走，當指到第k個節點時，即當報k的被殺時，就將該節點從鏈表中刪除。
- 刪除該節點後，從該節點的下一個節點開始，再從1走到k,
- 再次刪除第k節點，一直到某節點的下一個節點指向自己，說明只有一個節點了，即最後活下的人
根據上面分析循環單鏈表的操作過程，代碼實現如下：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 |
class Node(object):
def __init__(self, value): |
這種方法的時間復雜度為：O(n*k),當人數量n很大，報的數k也很大時，並不適用。
思路二
遞歸思路，假設房間共有n = 10個人，初始編號為1,2,3,…10，設初始編號對應的編號位置為0, 1, 2, …9, 每次數到k = 3的人殺死，求最後活下來的人的初始編號是幾？
來看殺人過程：
約瑟夫問題遞歸思路求解過程
(表中紅色為報數k=3的被殺死的人的編號，綠色為最後活下來的人的編號)
仔細觀察表中每一輪初始編號的移動規律：
第二輪到第一輪的編號移動規律： (第二輪的編號x的編號位置 + k) % 10 ==> 第一輪編號x的編號位置
比如第二輪編號5的編號位置是1， (1 + 3) % 10 ==> 4, 得到第一輪編號5的的編號位置是4
進而得到第三輪到第二輪的編號移動規律：(第三輪編號x的編號位置 + k) % 9 ==> 第二輪編號x的編號位置
比如第三輪編號5的編號位置是7， (7 + 3) % 9 –> 1, 得到第二輪編號5的的編號位置是1
進而得到第N輪與第N-1輪的編號移動規律：(第N輪的編號x的編號位置 + k) % 第N-1輪總人數 ==> 第N-1輪編號x的編號位置
最後一輪存活著的編號x對應的編號位置一定是0， 那麽根據以上規律，可以得到倒數第二輪編號x對應的編號位置，根據規律進一步可以得到倒數第三輪編號x對應的編號位置， 一直可以推導出第一輪編號x的對應編號位置，由第一輪編號x的對應編號位置+1得到的便是最後存活的人的初始編號。
由上總結，當房間共有n個人，報數k殺死時，令f(n, k)表示最後存活著的編號位置，則有遞歸公式：
- n = 1: f(1, k) = 0;
- n > 1: f(n, k) = (f(n-1, k) + k) % n;
有了遞推公式以後，代碼實現如下：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | def josephus(n, k): if n == 1: return 0 else: return (josephus(n - 1, k) + k) % n n = 10 k = 3 print("最後存活者編號是：", josephus(n, k)+1) # 4 |
對思路二的優化
對遞歸思路的進一步優化，假設n非常大，而k又比較小，比如n=100, k=3, 被殺過程如下：
- 第一輪： 有100個人，每次報k=3的被殺，總共殺死了 math.floor(100/3) = 33個人，剩余67個人
- 第二輪： 有67個人，每次報k=3的被殺，總共殺死了 math.floor(67/3) = 22個人，剩余45個人
- 第三輪： 有45個人，每次報k=3的被殺，總共殺死了 math.floor(45/3) = 15個人，剩余30個人
- 第四輪： 有30個人，每次報k=3的被殺，總共殺死了 math.floor(30/3) = 10個人，剩余20個人
- 第五輪： 有20個人，每次報k=3的被殺，總共殺死了 math.floor(20/3) = 6個人，剩余14個人
- 第六輪： 有14個人，每次報k=3的被殺，總共殺死了 math.floor(14/3) = 4個人，剩余10個人
- 第七輪： 有10個人，每次報k=3的被殺，總共殺死了 math.floor(10/3) = 3個人，剩余7個人
- 第八輪： 有7個人，每次報k=3的被殺，總共殺死了 math.floor(7/3) = 2個人，剩余5個人
- 第九輪： 有5個人，每次報k=3的被殺，總共殺死了 math.floor(5/3) = 1個人，剩余4個人
- 第十輪： 此時，總人數n=4, 報的數k=3，再利用思路二中的遞歸方法求解最後剩余者編號
在上面殺人過程中，通過建立n/k的步長加快了殺人的速度，減少了算法時間。可以從下面這幅圖中更加清晰的體會到：
約瑟夫問題遞歸思路求解過程優化
本來需要10輪的，現在只需要7輪，如果n=100，k=3的話優化效果會更明顯。
根據以上分析，優化方法如下：
- math.floor(n/k) == 1: 用思路二中方法求解
- math.floor(n/k) > 1: n = n - math.floor(n/k)
實現代碼：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | import math def josephus(n, k): if n == 1: return 0 else: return (josephus(n - 1, k) + k) % n def kill_people(n, k): while math.floor(n/k) > 1: # 建立一個步長為n/k的遞歸過程； n = n - math.floor(n/k) kill_people(n, k) live_index = josephus(n, k) return live_index+1 n = 10 k = 3 print("最後存活者編號是", kill_people(n,k)) |
思路三
使用數組存儲房間中的每個人: arr = [ i for i in range(1, 10+1) ]
arr數組代表房間裏的10個人：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
每次被殺的人的編號： kill_num = (kill_num + k - 1) % len(arr)。 其中的(k-1)對應數組的下標
有了被殺人的的編號後，將其pop出數組。
然後再次計算下一個被殺人的編號，直到數組中只剩一個人。
代碼實現：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | def josephus(n, k): arr = [ i for i in range(1, n+1) ] kill_num = 0 while len(arr) != 1: kill_num = (kill_num + k - 1) % len(arr) print("殺死：" + str(arr.pop(kill_num))) return arr[0] n = 10 k = 3 print("最後存活者編號是：", josephus(n, k)) # 4 |
對思路三的優化
在思路三中需要構建一個數組，也可以不用數組來減少內存。使用動態規劃來解：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | def Josephus(n, k): kill_num = 0 for i in range(1, n+1): kill_num = (k + kill_num) % i return kill_num + 1 n = 5 k = 2 print("最後存活者編號：", Josephus(n, k)) |
最後這個動態規劃的方法來自：https://www.quora.com/What-is-the-best-solution-for-Josephus-problem-algorithm
約瑟夫問題
約瑟夫問題是個著名的問題：N個人圍成一圈，第一個人從1開始報數，報M的將被殺掉，下一個人接著從1開始報。如此反復，最後剩下一個，求最後的勝利者。
例如只有三個人，把他們叫做A、B、C，他們圍成一圈，從A開始報數，假設報2的人被殺掉。
- 首先A開始報數，他報1。僥幸逃過一劫。
- 然後輪到B報數，他報2。非常慘，他被殺了
- C接著從1開始報數
- 接著輪到A報數，他報2。也被殺死了。
- 最終勝利者是C
解決方案
普通解法
剛學數據結構的時候，我們可能用鏈表的方法去模擬這個過程，N個人看作是N個鏈表節點，節點1指向節點2，節點2指向節點3，……，節點N-1指向節點N，節點N指向節點1，這樣就形成了一個環。然後從節點1開始1、2、3……往下報數，每報到M，就把那個節點從環上刪除。下一個節點接著從1開始報數。最終鏈表僅剩一個節點。它就是最終的勝利者。
缺點：
要模擬整個遊戲過程，時間復雜度高達O(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。
公式法
約瑟夫環是一個經典的數學問題，我們不難發現這樣的依次報數，似乎有規律可循。為了方便導出遞推式，我們重新定義一下題目。
問題： N個人編號為1，2，……，N，依次報數，每報到M時，殺掉那個人，求最後勝利者的編號。
這邊我們先把結論拋出了。之後帶領大家一步一步的理解這個公式是什麽來的。
遞推公式：
- f(N,M)f(N,M)表示，N個人報數，每報到M時殺掉那個人，最終勝利者的編號
- f(N−1,M)f(N−1,M)表示，N-1個人報數，每報到M時殺掉那個人，最終勝利者的編號
下面我們不用字母表示每一個人，而用數字。
表示11個人，他們先排成一排，假設每報到3的人被殺掉。
- 剛開始時，頭一個人編號是1，從他開始報數，第一輪被殺掉的是編號3的人。
- 編號4的人從1開始重新報數，這時候我們可以認為編號4這個人是隊伍的頭。第二輪被殺掉的是編號6的人。
- 編號7的人開始重新報數，這時候我們可以認為編號7這個人是隊伍的頭。第三輪被殺掉的是編號9的人。
- ……
- 第九輪時，編號2的人開始重新報數，這時候我們可以認為編號2這個人是隊伍的頭。這輪被殺掉的是編號8的人。
- 下一個人還是編號為2的人，他從1開始報數，不幸的是他在這輪被殺掉了。
- 最後的勝利者是編號為7的人。
下圖表示這一過程（先忽視綠色的一行）
現在再來看我們遞推公式是怎麽得到的！
將上面表格的每一行看成數組，這個公式描述的是：幸存者在這一輪的下標位置
- f(1,3)f(1,3)：只有1個人了，那個人就是獲勝者，他的下標位置是0
- f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2個人的時候，勝利者的下標位置為1
- f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3個人的時候，勝利者的下標位置為1
- f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4個人的時候，勝利者的下標位置為0
- ……
- f(11,3)=6f(11,3)=6
很神奇吧！現在你還懷疑這個公式的正確性嗎？上面這個例子驗證了這個遞推公式的確可以計算出勝利者的下標，下面將講解怎麽推導這個公式。
問題1：假設我們已經知道11個人時，勝利者的下標位置為6。那下一輪10個人時，勝利者的下標位置為多少？
答：其實吧，第一輪刪掉編號為3的人後，之後的人都往前面移動了3位，勝利這也往前移動了3位，所以他的下標位置由6變成3。
問題2：假設我們已經知道10個人時，勝利者的下標位置為3。那下一輪11個人時，勝利者的下標位置為多少？
答：這可以看錯是上一個問題的逆過程，大家都往後移動3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3f(11,3)=f(10,3)+3。不過有可能數組會越界，所以最後模上當前人數的個數，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11f(11,3)=（f(10,3)+3）%11
問題3：現在改為人數改為N，報到M時，把那個人殺掉，那麽數組是怎麽移動的？
答：每殺掉一個人，下一個人成為頭，相當於把數組向前移動M位。若已知N-1個人時，勝利者的下標位置位f(N−1,M)f(N−1,M)，則N個人的時候，就是往後移動M為，(因為有可能數組越界，超過的部分會被接到頭上，所以還要模N)，既f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%nf(N,M)=(f(N−1,M)+M)%n
註：理解這個遞推式的核心在於關註勝利者的下標位置是怎麽變的。每殺掉一個人，其實就是把這個數組向前移動了M位。然後逆過來，就可以得到這個遞推式。
因為求出的結果是數組中的下標，最終的編號還要加1
下面給出代碼實現：
int cir(int n,int m)
{
int p=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
p=(p+m)%i;
}
return p+1;
}賞月齋源碼共享計劃 第四期 約瑟夫問題