1、直接給出；

如函數在區間\([a，b]\)單調遞增；

2、以定義式給出；

如給出函數\(f(x)\)在區間\(D\)上滿足\(\forall x_1，x_2\in D，x_1<x_2，f(x_1)<f(x_2)\)，

則意味著函數\(f(x)\)在區間\(D\)上單調遞增；

3、以定義的變形形式給出；

如單調遞增以積式的形式給出：

如給出函數\(f(x)\)在區間\(D\)上滿足\(\forall x_1，x_2\in D，(x_1-x_2)\cdot(f(x_1)-f(x_2))<0\)

則意味著函數\(f(x)\)在區間\(D\)

4、以定義的變形形式給出；

如單調遞增以商式的形式給出：

如給出函數\(f(x)\)在區間\(D\)上滿足\(\forall x_1，x_2\in D，\cfrac{f(x_1)- f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)

則意味著函數\(f(x)\)在區間\(D\)上單調遞增；

5、以“單調+奇偶”的綜合形式給出；

如給出函數\(f(x)\)在區間\(D\)上滿足：\(\cfrac{f(x_1)+ f(x_2)}{x_1+x_2}>0\)，且函數\(f(x)\)為奇函數，

則可知\(-f(-x_2)=f(x_2)\)，代換得到\(\cfrac{f(x_1)- f(-x_2)}{x_1-(-x_2)}>0\)

再令\(-x_2=x_3\)，即\(\cfrac{f(x_1)- f(x_3)}{x_1-x_3}>0\)，

即函數\(f(x)\)在區間\(D\)上單調遞增；

6、 以圖像的形式給出；(給出\(f(x)\)圖像或者\(f'(x)\)的圖像，要會讀斜率)

比如給出\(f(x)\)圖像，需要會解讀圖像，給出\(f'(x)\)的圖像，要會通過\(f'(x)\)的正負解讀單調性；

7、函數單調性的性質應用；

結論①：函數\(f(x)、g(x)\)是增(減)函數，則\(f(x)+g(x)\)為增(減)函數；

註意，此處不是用復合函數的“同增異減”來判斷，而是利用單調性的定義可以證明的。

結論②：已知函數\(f(x)、g(x)\)是增(減)函數，同時又已知\(f(x)>0，g(x)>0\)，則有\(f(x)\cdot g(x)\)是增（減）函數；

已知函數\(f(x)、g(x)\)是增（減）函數，同時又已知\(f(x)<0，g(x)<0\)，則有\(f(x)\cdot g(x)\)是減（增）函數；

8、以復合函數的形式給出單調性；

\(\fbox{例1}\)(2017鳳翔中學高三理科第二次月考第9題)
若函數\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上為減函數，則實數\(a\)的取值範圍是【】

A、\([3，+\infty)\) \(\hspace{2cm}\) B、\((0，1)\) \(\hspace{2cm}\) C、\((1，3]\) \(\hspace{2cm}\) D、 \((1，3)\)

分析：令\(g(x)=6-ax\)，像這類題目既要考慮單調性，還要考慮定義域。

由題目可知必有\(a>0\)，故函數\(g(x)\)單調遞減，考慮定義域時只要最小值\(g(2)>0\)即可，

再考慮外函數必須是增函數，故\(a>1\)，

結合\(g(2)>0\)，解得\(1<a<3\)，故選D。

9、以分段函數的形式給出單調性

\(\fbox{例0}\)(已知分段函數的單調性，求參數的取值範圍)

已知\(a>0\)，函數\(f(x)\)滿足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函數\(f(x)\)在\(R\)上單調遞增，求\(a\)的取值範圍。

分析：由題目可知，\(\begin{cases} &3-a>0 \\ &a>1 \\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}\end{cases}\)；

即就是\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)

解得：\(a\in[\cfrac{9}{4}，3)\)；

10、以賦值法的形式給出單調性；

如定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)滿足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(x >0\)時，\(f(x)<0\)，判定函數單調性。

分析：令\(x_1> x_2\)，則\(x_1-x_2>0\)，故\(f(x_1-x_2)<0\)，

則有$ f(x_1) = f(x_1-x_2+x_2) = f(x_1-x_2)+f (x_2) < f( x_2) $，

故函數\(f(x)\)在\(R\)上單調遞減。

11、以導數的形式給出，

如函數在區間\([a，b]\)滿足\(f'(x)\ge0\)(只在有限個點處使得\(f'(x)=0\))

12、以積函數的形式給出，

如\((x-1) \cdot f'(x)>0\)，則可知\(\left\{\begin{array}{l}{x-1>0}\\{f'(x)>0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{x-1<0}\\{f'(x)<0}\end{array}\right.\)

即可知，當\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)，即函數\(f(x)\)在區間\((1，+\infty)\)上單調遞增；

當\(x<1\)時，\(f'(x)<0\)，即函數\(f(x)\)在區間\((-\infty，1)\)上單調遞減；

同理可以理解表達式\((x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0\)。

13、以導函數的整體或部分形式給出(更難些)，

比如題目給出當\(x>0\)時滿足條件\(xf'(x)-f(x)<0\)，則是告訴我們需要構造新函數，同時能知道新函數的單調性；

分析：構造\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，則當\(x>0\)時，

則\(g'(x)=\cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}<0\)，

即新函數\(g(x)\)在區間\((0，+\infty)\)上單調遞減。

• 函數單調遞增或遞減的五種代表形式：逐漸增大型，逐漸減少型，恒定不變型，先慢後快型，先快後慢型。

二、典例剖析：

【引例01】\(f(x)\)是偶函數，當\(x\in(-\infty，0)\)時，\(f(x)+xf'(x)<0\)成立，比較\(2f(2)，3f(3)，5f(5)\)的大小。

分析：構造\(g(x)=x\cdot f(x)\)，\(g(x)\)為奇函數，當\(x\in(-\infty，0)\)時，\(f(x)+xf'(x)<0\)成立，則\(g'(x)=f(x)+xf'(x)<0\)，故由單調和奇偶性可知\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上單調遞減。大小比較就容易了。

【引例02】已知函數\(f(x)=x^3-2ax+1\)在區間\([2，5]\)上\(\underline{單調遞增}\)，求參數\(a\)的取值範圍。

分析：\(f'(x)\ge 0\)在區間\([2，5]\)上恒成立，

即\(3x^2-2a\ge 0\)在區間\([2，5]\)上恒成立，

分離參數得到，\(2a\leq 3x^2\)在區間\([2，5]\)上恒成立，

即\(2a\leq [3x^2]_{min}=12\)，

即\(a\leq 6\)。

\(\fbox{例3}\)(構造函數+大小比較)

(2017\(\cdot\)河南平頂山一模)已知\(f(x)\)是定義在\((0，+\infty)\)上的函數，對任意兩個不相等的正數\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，記\(a=\cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}}\)，\(b=\cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2}\)，\(c=\cfrac{f(log_25)}{log_25}\)，則（）

A.\(a<b<c\) \(\hspace{2cm}\) B.\(b<a<c\) \(\hspace{2cm}\) A.\(c<a<b\) \(\hspace{2cm}\) A.\(c<b<a\)

分析：註意到\(a，b，c\)的結構，由題目猜想：要構造的函數是\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，那麽是否正確，以下做以驗證。

令\(0<x_1<x_2\)，則由單調性定義的等價形式可得，

\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)

由題目，對任意兩個不相等的正數\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，

則可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，即函數\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是單調遞增的，

故題目需要我們比較\(g(3^{0.2})\)，\(g(0.3^2)\)，\(g(log_25)\)這三個的大小關系，只需要比較自變量的大小就可以了；

由於\(1=3^0<3^{0.2}<3^{0.5}=\sqrt{3}<2\)，\(0<0.3^2=0.09<1\)，\(log_25>log_24=2\)，

故\(g(0.3^2)<g(3^{0.2})<g(log_25)\)，即\(b<a<c\)。