5103 傳紙條 0x50「動態規劃」例題

描述

給定一個 N*M 的矩陣A，每個格子中有一個整數。現在需要找到兩條從左上角 (1,1) 到右下角 (N,M) 的路徑，路徑上的每一步只能向右或向下走。路徑經過的格子中的數會被取走。兩條路徑不能經過同一個格子。求取得的數之和最大是多少。N,M≤50。

輸入格式

第一行有2個用空格隔開的整數n和m，表示有n行m列（1<=n,m<=50）。
接下來的n行是一個n*m的矩陣，每行的n個整數之間用空格隔開。

輸出格式

一個整數，表示答案。

樣例輸入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

樣例輸出

34

數據範圍與約定

• 30%的數據滿足：1<=m,n<=10
  100%的數據滿足：1<=m,n<=50

來源

CCF NOIP2008 T3

題意：n*m的格子裏每個格子有一個權值，從（1,1）走到（n,m）兩條路，（只能向下或者向右）求路徑之和。走過的格子只算一次權值。

思路：

把“路徑長度”即當前走過的步數作為DP的“階段”。【因為只能向下或向右，走到（n，m）時的路徑長度是n+m-2】

每一個階段中，把兩條路徑同時擴展一步，路徑長度增加1，從而轉移到下一個階段。

還需確定兩條路徑當前的末尾位置。並且 x1+y1 = x2 + y2 = i + 2

所以就可以用三維dp維護，每次有4種擴展方式。並且要考慮擴展後是否兩個點坐標相同。

目標是dp[n+m-2][n][n]

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2
 
 #include<iostream>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<stdio.h>
 6 #include<cstring>
 7 #include<map>
 8 
 9 #define inf 0x3f3f3f3f
10 using namespace std;
11 typedef long long LL;
12 
13 int n, m;
14 const int maxn = 55;
15 int g[maxn][maxn];
16 int
 
 dp[maxn * 2][maxn][maxn] = {0};
17 
18 int main()
19 {
20     scanf("%d%d", &n, &m);
21     for(int i = 1; i <= n; i++){
22         for(int j = 1; j <= m; j++){
23             scanf("%d", &g[i][j]);
24         }
25     }
26 
27     dp[0][1][1] = g[1][1];
28     for(int i = 0; i <= n + m - 2; i++){
29         for(int x1 = 1; x1 <= min(n, i + 1); x1++){
30             for(int x2 = 1; x2 <= min(n, i + 1); x2++){
31                 int y1 = i + 2 - x1, y2 = i + 2 - x2;
32                 if(x1 == x2 && y1 == y2){
33                     dp[i + 1][x1][x2] = max(dp[i + 1][x1][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + 1]);
34                     dp[i + 1][x1 + 1][x2 + 1] = max(dp[i + 1][x1 + 1][x2 + 1], dp[i][x1][x2] + g[x1 + 1][y1]);
35                 }
36                 else{
37                     dp[i + 1][x1][x2] = max(dp[i + 1][x1][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + 1] + g[x2][y2 + 1]);
38                     dp[i + 1][x1 + 1][x2 + 1] = max(dp[i + 1][x1 + 1][x2 + 1], dp[i][x1][x2] + g[x1 + 1][y1] + g[x2 + 1][y2]);
39                 }
40 
41                 if(x1 == x2 + 1 && y1 + 1 == y2){
42                     dp[i + 1][x1][x2 + 1] = max(dp[i + 1][x1][x2 + 1], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + 1]);
43                 }
44                 else{
45                     dp[i + 1][x1][x2 + 1] = max(dp[i + 1][x1][x2 + 1], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + 1] + g[x2 + 1][y2]);
46                 }
47 
48                 if(x1 + 1 == x2 && y1 == y2 + 1){
49                     dp[i + 1][x1 + 1][x2] = max(dp[i + 1][x1 + 1][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1 + 1][y1]);
50                 }
51                 else{
52                     dp[i + 1][x1 + 1][x2] = max(dp[i + 1][x1 + 1][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1 + 1][y1] + g[x2][y2 + 1]);
53                 }
54             }
55         }
56     }
57     printf("%d\n", dp[n + m - 2][n][n]);
58     return 0;
59 }

CH5103 傳紙條【線性dp】