0. 從1加到100？

先寫一個從1加到100的程序，如何寫呢？
記剛學程序時的寫法：

 int i, sum = 0, n = 100;

 for(i = 0; i < 100; i++)
 {    
     sum += i;
 }
 printf("%d", sum);

大神高斯小學時的解法用程序實現：

 int sum = 0, n = 100;
 sum = (1 + n) * n / 2;
 printf("%d", sum);

我們看到的這兩種解決從1加到100的解決方法，就是算法。

1. 算法定義

算法是解決特定問題求解步驟的描述，在計算機中表現為指令的有限序列，並且每條指令表示一個或者多個操作。

2. 算法的特性

• 輸入輸出：算法具有零個或者多個輸入。對於多數算法來說，輸入參數是必要的，但是對於打印“hello world！”這樣的代碼，就不需要參數。算法至少有一個或多個輸出。倘若一個算法沒有輸出，那我們要它何用？當然輸出方式可以是打印輸出或者返回一個或多個值等。
• 有窮性：指算法在執行有限步驟後，自動結束而不是無限循環，並且每一個步驟在可以接受的時間內執行完成。這裏的有窮也是有邊界的，並不是說執行一個算法需要二三十年也是能完成的，那樣黃瓜菜都涼了，意義不大了。
• 確定性：算法的每一個步驟都有確定意義的，不會出現二義性。
• 可行性：算法的每一步驟都必須是可行的，也就是說，每一個步驟都能執行有限次數後完成。

3. 算法效率的度量方法

3.1 事後統計法

通過設計好的測試程序和數據，利用計算機計時器對不同的算法編制的程序的運行時間進行比較，從而確定算法的效率高低。

3.2 事前分析估算法

在算法編制前，根據統計方法對算法進行估算。

算法效率的度量也就是對算法運行時間的度量，而一個程序的運行時間，主要依賴於算法的好壞和輸入規模。
輸入規模即輸入量的多少。
看栗子：

第一種求和算法：

 int i, sum = 0, n = 100;    //執行1次

 for(i = 0; i < 100; i++)    //執行年n+1次
 {    
     sum += i;                //執行n次
 }
 printf("%d", sum);            //執行1次
 

第二種求和算法：

 int sum = 0, n = 100;    //執行1次
 sum = (1 + n) * n / 2;    //執行1次
 printf("%d", sum);        //執行1次

顯然，第一種算法執行了2n+3次，第二種算法執行了3次，兩種算法的好壞顯而易見。

4. 函數的漸進增長

舉個例子：
相同的輸入規模n，算法A做2n+3次操作，算法B做3n+1次操作。兩個算法誰更快呢？

顯然，答案不確定，當n=1時，算法B快些；當n=2時，兩者相等；當n>2時，算法A快。

此時給出這樣的定義，輸入規模n在沒有限制的情況下，只要超過一個數值N，這個函數就總是大於另一個函數，我們就稱函數是漸進增長的。

函數的漸進增長：給定兩個函數f（n）和g（n），如果存在一個整數N，
使得對於所有的n>N，f（n）總是比g（n）大，那麽，我們說f（n）的增長漸進快於g（n）。

根據函數的漸進增長性我們可以得出：某個算法，隨著n的增大，它會越來越優於另一個算法，或者越來越差於另一個算法。

5. 算法的時間復雜度

5.1算法時間復雜度定義

在進行算法分析時，語句總的執行次數T（n）是關於輸入規模n的函數，進而分析T（n）隨n的變化情況並確定T（n）的數量級。算法的時間復雜度，也就是算法的時間度量，記作：T（n） = O（f（n））。它表示隨問題規模n的增大，算法執行時間的增長率和f（n）的增長率相同，稱作算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。其中f（n）是問題規模n的某個函數。

5.2 大O階的推導

大O階的推導：
1.用常數1取代運行時間中的所有加法常數。
2.在修改後的運行次數函數中，只保留最高階項。
3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。
得到的結果就是大O階。

5.3 常數階O（1）

 int sum = 0, n = 100;    //執行1次
 sum = (1 + n) * n / 2;    //執行1次
 printf("%d", sum);        //執行1次

5.4 線性階O（n）

 int i;
 for(i = 0; i < n; i++)
 {
 //時間復雜度為O(1)的程序步驟序列
 }

5.5 對數階O(logn)

 int count = 1;
 while(count < n)
 {
     count = count * 2;
 //時間復雜度為O(1)的程序步驟序列
 }

5.6 平方階O(n2)

 int i, j;
 for(i = 0; i < n; i++)
 {
     for(j = 0; j < n; j++)
     {
     //時間復雜度為O(1)的程序步驟序列
     }
 }

計算如下程序的時間復雜度：

 int i, j;
 for(i = 0; i < n; i++)
 {
     for(j = i; j < n; j++)
     {
     //時間復雜度為O(1)的程序步驟序列
     }
 }

當i=1時，內循環執行了n-1次；當i=n-1時，內循環執行了1次，我們可以推算出總的執行次數為：
n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1=n(n+1)/2=n2/2+n/2
用大O推導法，可得這段代碼的時間復雜度為O（n2）

5.7 常見時間復雜度

 O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(2?)<O(n!)

算法初步