排序算法下——桶排序、計數排序和基數排序
桶排序、計數排序和基數排序這三種算法的時間復雜度都為 $O(n)$，因此，它們也被叫作線性排序（Linear Sort）。之所以能做到線性，是因為這三個算法是非基於比較的排序算法，都不涉及元素之間的比較操作。
1. 桶排序（Bucket Sort）？
1.1. 桶排序原理
- 桶排序，顧名思義，要用到“桶”。核心思想是將要排序的數據分到幾個有序的桶裏，每個桶的數據再單獨進行排序。桶內排完序後，再把每個桶裏的數據按照順序依次取出，組成的序列就是有序的了。
1.2. 桶排序的時間復雜度分析
- 如果要排序的數據有 $n$ 個，我們把它們均勻地劃分到 $m$ 個桶內，每個桶內就有 $k = \frac{n}{m}$ 個元素。對每個桶內的數據進行快速排序，時間復雜度為 $O(klogk)$。$m$ 個桶排序時間復雜度就為 $O(m * klogk) = O(n * log\frac{n}{m})$。當桶的個數接近數據個數時，$O(log\frac{n}{m})$ 就是一個非常小的數，這個時候通排序的時間復雜度接近於 $O(n)$。
1.3. 桶排序的適用條件
桶排序看起來很優秀，但事實上，桶排序對排序數據的要求是非常苛刻的。
- 首先，要排序的數據需要很容易就能劃分為 $m$ 個桶，並且桶與桶之間有著天然的大小順序。
- 其次，數據在各個桶之間的分布是比較均勻的。
- 桶排序比較適合用在外部排序中。所謂的外部排序就是數據存儲在外部磁盤中，數據比較大而內存有限，無法將數據全部加載到內存中去。
1.4. 一個桶排序的實例
假如我們有 10 GB 的訂單數據需要按照金額進行排序，但內存只有幾百 MB ，這時候該怎麽辦呢？
- 我們先掃描一遍文件，確定訂單金額的數據範圍。
如果掃描後發現訂單金額處於 1 萬元到 10 萬元之間，我們將所有訂單按照金額劃分到 100 個桶內，第一個桶數據範圍為[1, 1000]，第二個桶數據範圍為[1001, 2000]......，每個桶對應一個文件，同時將文件按照金額範圍的大小順序編號命名（如00、01、02...99）。
如果訂單金額分布均勻，則每個文件包含大約 100 MB 的數據，我們可以將每個小文件讀入到內存中，進行快速排序。然後，再按順序從各個小文件讀取數據，寫入到另外一個文件，即是排序好的數據了。
如果訂單分布不均，某一範圍內數據特別多無法一次讀入內存，則可以繼續對此區間再進行劃分，直到所有的文件都可以讀入內存為止。
2. 計數排序（Counting Sort）？
2.1. 計數排序算法實現
計數排序可以看作是桶排序的一種特殊情況。當要排序的數據所處的範圍並不大時，比如最大值為 $K$，這時候，我們可以把數據分為 $K$ 個桶，每個桶內的數據都是相同的，省掉了桶內排序的時間。
假設高考分數的範圍為 [0, 750]，我們可以將考生的分數劃分到 751 個桶內，然後再依次從桶內取出數據，就可以實現對考生成績的排序了。因為只涉及到掃描遍歷操作，因此時間復雜度為 $O(n)$。
但這個排序算法為什麽叫計數排序呢，這是由計數排序算法的實現方法來決定的，我們來看一個簡單的例子。
假設有 8 個考生，他們的分數範圍為 [0, 5]。這 8 個考生的成績我們放在一個數組中，A[8] = {2, 5, 3, 0, 2, 3, 0, 3}。
我們用大小為 6 的數組代表 6 個桶來統計考生的成績分布情況，其中下標表示考生的分數，數組內的值表示這個分數的考生個數。我們遍歷一遍數組後，就可以得到 C[6] = {2, 0, 2, 3, 0, 1,}，得 0 分的共有 2 人，得 3 分的共有 3 人。
如下所示，成績為 3 的考生共有 3 個，小於 3 分的考生共有 4 個，所以在排好序的數據 R[8] 中，3 的位置應該為 4，5 和 6 。
- 而我們怎麽得到這個位置呢？只需要對 C[6] 數組按順序累計求和即可，這時候，C[6] 數組中的每個值就都表示小於等於它的值的個數了。
接下來，我們從後到前依次掃描數組 A[8]。當掃描到 3 時，我們取出 C[3] 的值 7，說明小於等於 3 的個數為 7 個，那麽 3 就應該放在數組 R[8] 的第 7 個位置，也就是下標為 6 的地方。當我們再次遇到 3 的時候，這時候小於等於 3 的元素個數就少了一個，也就是我們要把 C[3] 相應地減去 1 。
之所以要從後到前依次掃描數組，是因為這樣之前相同的元素就仍然會保持相同的順序，可以保證排序算法的穩定性。
當我們掃描完整個數組 A[8] 時，數組 R[8] 中的數據也就從小到大排好序了，其詳細過程可參考下圖。
- 代碼實現
// 假設數組中存儲的都是非負整數
void Counting_Sort(int data[], int n)
{
if (n <= 1)
{
return;
}
// 尋找數組的最大值
int max = data[0];
for (int i = 1; i < n; i++)
{
if (data[i] > max)
{
max = data[i];
}
}
// 定義一個計數數組, 統計每個元素的個數
int c[max+1] = {0};
for (int i = 0; i < n; i++)
{
c[data[i]]++;
}
// 對計數數組累計求和
for (int i = 1; i <= max; i++)
{
c[i] = c[i] + c[i-1];
}
// 臨時存放排好序的數據
int r[n] = {0};
// 倒序遍歷數組，將元素放入正確的位置
for (int i = n-1; i >= 0; i--)
{
r[c[data[i]] - 1] = data[i];
c[data[i]]--;
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
data[i] = r[i];
}
}2.2. 計數排序的適用範圍
計數排序只適用於數據範圍不大的場景中，如果數據範圍 $K$ 比排序的數據 $n$ 大很多，就不適合用計數排序了。
計數排序能給非負整數排序，如果數據是其他類型的，需要將其在不改變相對大小的情況下，轉化為非負整數。比如數據有一位小數，我們需要將數據都乘以 10；數據範圍為 [-1000, 1000]，我們需要對每個數據加 1000。
3. 基數排序（Radix Sort）？
假設要對 10 萬個手機號碼進行排序，顯然桶排序和計數排序都不太適合，那怎樣才能做到時間復雜度為 $O(n)$ 呢?
1.1. 基數排序原理
手機號碼有這樣的規律，假設要比較兩個手機號碼 $a, b$ 的大小，如果在前面幾位中，$a$ 手機號碼已經比 $b$ 大了，那後面幾位就不用看了。
借助穩定排序算法，我們可以這麽實現。從手機號碼的最後一位開始，分別按照每一位的數字對手機號碼進行排序，依次往前進行，經過 11 次排序之後，手機號碼就都有序了。
下面是一個字符串的排序實例，和手機號碼類似。
根據每一位的排序，我們可以用剛才的桶排序或者計數排序來實現，它們的時間復雜度可以做到 $O(n)$。如果排序的數據有 $K$ 位，則總的時間復雜度為 $O(K * n)$，當 $K$ 不大時，基數排序的時間復雜度就近似為 $O(n)$。
有時候，要排序的數據並不都是等長的，比如我們要對英文單詞進行排序。這時候，我們可以把所有單詞都補足到相同長度，位數不夠的在後面補 ’0‘，所有字母的 ASCII 碼都大於 ‘0’，因此不會影響原有的大小順序。
基數排序需要數據可以分割出獨立的位出來，而且位之間有遞進的關系。除此之外，每一位的數據範圍都不能太大，要可以用線性排序算法來進行排序。
參考資料-極客時間專欄《數據結構與算法之美》
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