題目大意

給你一個 \(n\) 個點，\(m\) 條邊的無向圖，求出這個無向圖中從1到n的次短路。其中\(n \le 5000\)，\(m \le 100000\)。

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POJ 3255

思路

其實求次長路是很簡單的一個問題，但是網上卻有很多算法都過於復雜了。首先我們先求出從1到每個結點的最短路長度（用Dijkstra或者是SPFA都可以）,存入數組 \(dis1\) 中，然後再求出從結點 \(n\) 到任意結點的最短路的長度，存入數組 \(dis2\) 中。
然後我們枚舉這個圖中的所有邊 \((u, v)\) 然後我們設 \(D = dis1[u] + w(u,v) + dis2[v]\)（\(w(u,v)\)

理由

因為次短路中一定至少有一條邊與最短路中不一樣，所以我們可以枚舉一條邊，強制從 \(1\) 到 \(n\) 的時候一定要經過這條邊，然後再用這樣的最短路去更新答案。有的時候枚舉的這條邊恰好在最短路上（最短路不只一條），那麽我們如何判斷呢？假如枚舉到邊 \((u,v)\) 那麽假如 \(dis1[u] + w(u,v) + dis2[v] = dis1[n]\)，就說明這條邊在最短路上。然後假如這個邊不在最短路上，那麽一定要通過這個邊從 \(1\)

代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 5e3 + 5;
const int M = 2e5 + 5;

int n, m;
int u, v, w;
int cnt = 0;
int head[N];
int dis1[N];
int dis2[N];

struct EDGE {
    int s;
    int e;
    int w;
    int nxt;
} Edge[M];

void add(int u, int v, int w) {
    ++cnt;
    Edge[cnt].s = u;
    Edge[cnt].e = v;
    Edge[cnt].w = w;
    Edge[cnt].nxt = head[u];
    head[u] = cnt;
}

int read() {
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-') w = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <='9') {
        s = s * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return s * w;
}

void write(int x) {
    if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if (x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

void Spfa1(int x) {
    queue<int> q;
    q.push(x);
    memset(dis1, 0x3f, sizeof(dis1)); //初始化dis1
    dis1[x] = 0;
    while (!q.empty()) {
        int now = q.front(); q.pop();
        for (register int i = head[now]; i; i = Edge[i].nxt) {
            if (dis1[Edge[i].e] > dis1[now] + Edge[i].w) {
                dis1[Edge[i].e] = dis1[now] + Edge[i].w;
                q.push(Edge[i].e);
            }
        }
    }
}

void Spfa2(int x) {
    queue<int> q;
    q.push(x);
    memset(dis2, 0x3f, sizeof(dis2)); //初始化dis1
    dis2[x] = 0;
    while (!q.empty()) {
        int now = q.front(); q.pop();
        for (register int i = head[now]; i; i = Edge[i].nxt) {
            if (dis2[Edge[i].e] > dis2[now] + Edge[i].w) {
                dis2[Edge[i].e] = dis2[now] + Edge[i].w;
                q.push(Edge[i].e);
            }
        }
    }
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
    n = read(), m = read();
    for (register int i = 1; i <= m; ++i) {
        u = read(), v = read(), w = read();
        add(u, v, w);
        add(v, u, w); //添加雙向邊
    }
    Spfa1(1);
    Spfa2(n);
    int ans = 0x3f3f3f3f;
    for (register int i = 1; i <= cnt; ++i) {
        int dis_tmp = dis1[Edge[i].s] + Edge[i].w + dis2[Edge[i].e];
        if (dis_tmp != dis1[n] && dis_tmp < ans) ans = dis_tmp;
    }
    write(ans);
    return 0;
}
 

如何用求次長邊——POJ 3255 題解