概念：

• 在有向圖G中，如果兩個定點u可以到達v，並且v也可以到達u，那麽我們稱這兩個定點強連通。
• 如果有向圖G的任意兩個頂點都是強連通的，那麽我們稱G是一個強連通圖。
• 一個有向圖中的最大強連通子圖，稱為強連通分量。

tarjan的主要思想：

從一個點開始DFS，記錄兩個數組，dfn[]和low[]。

其中，dfn[i]指的是到達第i個點的時間。

low[i]指第i個點直接或間接可到達的點中的最小dfn[j]。

low[i]數組的初始值為dfn[i]。

舉個例子，如圖所示：

假如我們從第一個點開始跑DFS，dfn[1]=1,low[1]=1;那麽走到第2個點時，標記dfn[2]=2;第三個點dfn[3]=2;dfn[4]=3;dfn[5]=3;dfn[6]=4;

同時，我們也可以得到另一個數組low[]:

low[1]=1;low[2]=1;low[3]=1;low[4]=1;low[5]=3;low[6]=4;

推廣：

對於每一個沒有被遍歷到的點u，如果從當前點有一條到未遍歷點u的有向邊，則遍歷到u，同時將點u入棧，時間戳+1並用dfn[u]記錄到達點u的時間，枚舉從u發出的每一條邊，如果該邊指向的點沒有被訪問過，那麽繼續dfs，回溯後low[u]=min(low[u],low[v])(其中v為u可以到達的點。)如果該點已經訪問過並且該點仍在棧裏，那麽low[u]=min(low[u],dfn[v])。

證明：

略，作為一名OIer，知道結論就行了！！！

代碼：

void tarjan(int u)
{
  low[u]=dfn[u]=++tim;
  instack[u]=1;stk[top++]=u;
  for(int i=H[u];i;i=X[i])
  {
    int v=P[i];
    if(!dfn[v])
    {
      tarjan(v);
      low[u]=min(low[u],low[v]);
    }
    else if(instack[v]) 
      low[u]=min(low[u],dfn[v]);
  }
  if(low[u]==dfn[u])
  {
    cnt++;
    int k;
    do
    {
      siz[cnt]++;
      k=stk[--top];
      belong[k]=cnt;
      instack[k]=0;
    }
    while(k!=u);
  }
}

例題：

迷宮城堡

Summer Holiday

Instantaneous Transference

寶藏

【算法】Tarjan算法求強連通分量