演算法分析與設計課程設計-Dijkstra最短路徑演算法
演算法分析與設計課程設計報告書
設計人：張欽穎
班級：14計科2班 學號：1414080901218
一、 實驗環境：
1、硬體環境：個人機，CPU主頻：4.01Ghz 記憶體：16G
2、軟體環境：作業系統：win10
程式語言：C++
二、 實驗任務解決方案：
1、 Dijkstra最短路徑演算法的流程圖。
（1） 建立一組sptSet（最短路徑陣列），它存的是已經在SPT裡的節點，也就是這些是已經計算過的，確定的最小值，一開始這裡是空的。
（2） 給所有的給定圖中的節點一個指定的距離值。將所有的距離值初始化為無限，將源節點初始為0。
（3） 當另一個（儲存未放入SPT的節點的那個）不為空時：
① 選擇一個不在SPTset中一個離源點距離最小的節點
② 把它加入SPTset
③ 更新所有於這個節點臨近的節點的距離值。為了更距離值，遍歷這個點所有的相鄰點。對於每一個相鄰的節點，如果這臨近點u
例如：
一開始SPTset是空的，並且它初始化的距離值是{0，無限，無限，無限，無限，無限，無限，無限}。現在選擇最小距離值的頂點。我們選了節點0，將它加入到sptSet。所以sptSet變為{0}。加入0至sptSet後，更新其相鄰頂點的距離值。0相鄰的節點為1和6，他們的距離值便被更新成3和4。圖中標示出在SPT的頂點顯示為綠色。
然後我們選擇一個不包含在SPT裡一個路徑值為最小的一個節點，節點1被選了而且被加入到了sptSET，所以sptSET現在變為了{0,1}更新1臨近節點的距離值，臨近節點為2跟8，節點
像上面一樣選一個，我們選了節點6，加入到sptSet，所以sptSet變成了{0,1,6}，更新節點6的臨近節點的距離值，臨近節點是5和7，更新後5：4+20=24，7：4+10=14
然後我們再選一個2加入，sptSet又新來了一個數字2，2的臨近節點3和8便更新為11和26.
一直重複這些事兒直到sptset包含所有的節點：
最後，我們終於得到了一棵完整的最短路徑樹
2、Dijkstra最短路徑演算法實現的關鍵程式碼。
#include <stdio.h>
#include <limits.h>
// Number of vertices in the graph
#define V 9
// A utility function to find the vertex with minimum distance value,from
// the set of vertices not yet included in shortest path tree
int minDistance(int dist[], bool sptSet[])
{
// Initialize min value
int min = INT_MAX,min_index;
for (int v = 0; v < V;v++)
if (sptSet[v] == false&& dist[v] < min)
min = dist[v],min_index = v;
return min_index;
}
// A utility function to print the constructed distance array
void printSolution(int dist[], int n)
{
printf("頂點\t\t距離源點的最短路徑\n");
for (int i = 0; i < V;i++)
printf("%d\t\t%d\n", i, dist[i]);
}
// Funtion that implements Dijkstra's single source shortest pathalgorithm
// for a graph represented using adjacency matrix representation
void dijkstra(int graph[V][V], int src)
{
int dist[V]; // The output array. dist[i] will hold the shortest
// distance from src to i
bool sptSet[V]; // sptSet[i]will true if vertex i is included in shortest
// path tree or shortestdistance from src to i is finalized
// Initialize all distancesas INFINITE and stpSet[] as false
for (int i = 0; i < V;i++)
dist[i] = INT_MAX,sptSet[i] = false;
// Distance of source vertexfrom itself is always 0
dist[src] = 0;
// Find shortest path forall vertices
for (int count = 0; count< V - 1; count++)
{
// Pick the minimumdistance vertex from the set of vertices not
// yet processed. u isalways equal to src in first iteration.
int u =minDistance(dist, sptSet);
// Mark the pickedvertex as processed
sptSet[u] = true;
// Update dist value ofthe adjacent vertices of the picked vertex.
for (int v = 0; v < V; v++)
// Update dist[v]only if distance to v is not in sptSet, there
// is an edgefrom u to v, and total weight of path from src to
// v through u issmaller than dist[v]
if (!sptSet[v]&& graph[u][v] && dist[u] + graph[u][v] < dist[v])
dist[v] = dist[u]+ graph[u][v];
}
// print the constructeddistance array
printSolution(dist, V);
}
// driver program to test above function
int main()
{
/* Let us create the examplegraph discussed above */
int graph[V][V] = {
{ 0, 3, 0, 0, 0, 0, 4,0, 0 },
{ 3, 0, 6, 0, 0, 0, 0,0, 16 },
{ 0, 6, 0, 2, 0, 0, 0,0, 17 },
{ 0, 0, 2, 0, 4, 0, 0,0, 9 },
{ 0, 0, 0, 4, 0, 11, 0,7, 0 },
{ 0, 0, 0, 0, 11, 0,20, 0, 0 },
{ 4, 0, 0, 0, 0, 20, 0,10, 0 },
{ 0, 0, 0, 0, 7, 0, 10,0, 1 },
{ 0, 16, 17, 9, 0, 0,0, 1, 0 }
};
dijkstra(graph, 0);
return 0;
}
三、 Dijkstra最短路徑演算法的計算複雜度分析（最好、最差、平均情況複雜度）：
（1） 最好的情況：每個頂點第一次檢測到就是路徑值就是最短路徑。複雜度最低。
複雜度為：2n²+6n
（2） 最壞情況：頂點被檢測了1次以上，並且每次檢測都更新路徑值為最小，即每次找的都不是最短路徑，直到最後一次檢測。複雜度最高
複雜度為：3n²+6n
（3） 平均情況複雜度：時間複雜度為O(n²)
四、 總結綜合實驗心得體會：
本次的Dijkstra最短路徑演算法在資料結構的課程上也接觸過，所以感覺這個不成問題，選用的例子是自己隨手畫出來的，然後按照Dijkstra最短路徑演算法把流程步驟分別畫了出來。然後其他部分參考了一下wiki以及geek論壇等國外大神的論文。還有很多東西老師在課堂上也給我們又講了一遍，所以從演算法思想上就不成多大問題了，主要是程式碼，而且必須得了解了演算法才能mark得出程式碼來，否則根本無從下手。