摘要

　　　　a是不能被質數p整除的正整數，則有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

　　尤拉給出了推廣形式

　　　　若n，a為正整數且互質，則，其中φ(n)表示小於等於m的數中與n互質的數的數目。可以看出費馬小定理是尤拉定理的一種特殊情況。

　　首先看一個基本的例子。令a = 3，n = 5，這兩個數是互素的。比5小的正整數中與5互素的數有1、2、3和4，所以φ(5)=4。計算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。與定理結果相符。

　　然後使用尤拉定理實現簡化冪的模運算。比如計算7^{222}的個位數，實際是求7^{222}被10除的餘數。7和10[互素]，且φ(10)=4。由尤拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。於是該7^{222}的個位數就是9。

　　最後將尤拉定理拓展到a和m不互質的情況

　　下面給出求解一個φ(n)值的求法：

 1 ll euler_phi(ll n) {
 2     ll k = (ll)sqrt(n + 0.5);
 3     ll ans = n;
 4     for(int i = 2
 
; i <= k; i++) {
 5         if(n % i == 0) {
 6             ans = ans / i * (i - 1);
 7             while(n % i == 0)   n /= i;
 8         }
 9     }
10     if(n > 1)   ans = ans / n * (n - 1);
11     return ans;
12 }

　　使用類似篩法的方法計算phi(1)，phi(2)，phi(3)，...phi(n)

 1 const int maxn = 100001;
 2 ll phi[maxn];
 
 3 void phi_table(ll n) {//計算1到n的尤拉函式值
 4     for(ll i = 2; i <= n; i++)
 5         phi[i] = 0;
 6     phi[1] = 1;
 7     for(ll i = 2; i <= n; i++) {
 8             if(!phi[i]) {
 9                 for(ll j = i; j <= n; j+=i) {
10                     if(!phi[j]) phi[j] = j;
11                     phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
12             }
13         }
14     }
15 }

可以使用如下程式碼打印出1 到 10 的phi函式值：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 using namespace std;
 5 
 6 typedef long long ll;
 7 
 8 ll euler_phi(ll n) {
 9     ll k = (ll)sqrt(n + 0.5);
10     ll ans = n;
11     for(int i = 2; i <= k; i++) {
12         if(n % i == 0) {
13             ans = ans / i * (i - 1);
14             while(n % i == 0)   n /= i;
15         }
16     }
17     if(n > 1)   ans = ans / n * (n - 1);
18     return ans;
19 }
20 
21 const int maxn = 100001;
22 ll phi[maxn];
23 void phi_table(ll n) {//計算1到n的尤拉函式值
24     for(ll i = 2; i <= n; i++)
25         phi[i] = 0;
26     phi[1] = 1;
27     for(ll i = 2; i <= n; i++) {
28             if(!phi[i]) {
29                 for(ll j = i; j <= n; j+=i) {
30                     if(!phi[j]) phi[j] = j;
31                     phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
32             }
33         }
34     }
35 }
36 
37 int main()
38 {
39     
40     for(ll i = 1; i <= 10; i++)
41         printf("%I64d ", euler_phi(i));
42     puts("");
43 
44     phi_table(10);
45     for(ll i = 1; i <= 10; i++)
46         printf("%I64d ", phi[i]);
47     puts("");
48     return 0;
49 }

看一道例題：FZU 1759 Super A^B mod C

題意

計算A^B mod C，其中1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000。

解題思路

使用陣列讀入，迴圈取餘，不用分情況。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define ll __int64
 3 using namespace std;
 4 
 5 char a[1000006];
 6 ll x, z;
 7 ll quickpow(ll x, ll y, ll z)
 8 {
 9     ll ans = 1;
10     while(y)
11     {
12         if(y&1)
13             ans = ans * x % z;
14         x = x * x % z;
15         y >>= 1;
16     }
17     return ans;
18 }
19 ll phi(ll n)
20 {
21     ll i, rea = n;
22     for(i = 2; i * i <= n; i++)
23     {
24         if(n % i == 0)
25         {
26             rea = rea - rea / i;
27             while(n % i == 0)
28                 n /= i;
29          }
30     }
31     if(n > 1)
32         rea = rea-rea/n;
33     return rea;
34 }
35 int main()
36 {
37     while(scanf("%lld %s %lld",&x,a,&z) != EOF)
38     {
39         ll len = strlen(a);
40         ll p = phi(z);
41         ll ans = 0;
42         for(ll i = 0;i < len; i++)
43             ans = (ans*10 + a[i]-'0')%p;
44         ans += p;
45         printf("%lld\n", quickpow(x, ans, z));
46     }
47     return 0;
48 }