前話

      本樓主是蒟蒻，居然最近才搞懂了卡特蘭數，在這裡總結一下，最基礎的總結。

正題

      定義卡特蘭數為：

      卡特蘭數的遞推式是：

      然後有人證出來了一個樸素的遞推公式：

      是不是很神奇，為什麼呢？

      我也不會，畢竟那個人不是我。

      接著，經過不斷摸索，有人解出來了這個遞推式的解：

      是不是很神奇，為什麼呢？

      我也不會，畢竟那個人不是我。

      卡特蘭數就是這樣一個很神奇的東西。

      如果在比賽中發現一組線性答案長得是這樣的：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012……

      那麼你就可以簡單的斷定它的答案是可以O(1)算的

應用

      如果在比賽中不想找規律呢？

      那麼您就要先掌握幾個簡單的應用以至於在比賽中不會懵逼簡單地Ak。

    第一個：

      n個0和n個1，求有多少種方案使得每個字首的 。

      首先，全部方案是，很明顯的

      其次，討論不滿足的，存在一個奇數

      把後面的位都取反，就會變得一共有個0和個1。

      反過來，一個有 個0和個1肯定對應一個唯一的不滿足的序列。

      因為存在一個奇數使得前面的0比1多，然後把後面翻轉過來又變成n個0和n個1的序列。

      所以不成功的方案數就是：

      成功方案就是：

    第二個：

      一個n個節點的二叉樹的形態總數有多少？

      明顯選取一個點做根，兩邊分別Dp即可。

       所以答案就是卡特蘭數。

       還有很多很多，比如說：平面直角座標系上跑有多少種方案，三角形劃分，區域劃分，大多都是運用公式本身的性質體現出來的卡特蘭數，或者在比賽中隱藏的找規律，需要做題練習。