Luogu P3825 [NOI2017]遊戲(2-SAT)
題意
題目背景
狂野飆車是小\(L\)最喜歡的遊戲。與其他業餘玩家不同的是，小\(L\)在玩遊戲之餘，還精於研究遊戲的設計，因此他有著與眾不同的遊戲策略。
題目描述
小\(L\)計劃進行\(n\)場遊戲，每場遊戲使用一張地圖，小\(L\)會選擇一輛車在該地圖上完成遊戲。
小\(L\)的賽車有三輛，分別用大寫字母\(A,B,C\)表示。地圖一共有四種，分別用小寫字母\(x,a,b,c\)表示。其中，賽車\(A\)不適合在地圖\(a\)上使用，賽車\(B\)不適合在地圖\(b\)上使用，賽車\(C\)不適合在地圖\(c\)上使用，而地圖\(x\)則適合所有賽車參加。適合所有賽車參加的地圖並不多見，最多隻會有\(d\)
\(n\)場遊戲的地圖可以用一個小寫字母組成的字串描述。例如：\(S=xaabxcbc\)表示小\(L\)計劃進行\(8\)場遊戲，其中第\(1\)場和第\(5\)場的地圖型別是\(x\)，適合所有賽車，第\(2\)場和第\(3\)場的地圖是a，不適合賽車\(A\)，第\(4\)場和第\(7\)場的地圖是\(b\)，不適合賽車\(B\)，第\(6\)場和第\(8\)場的地圖是\(c\)，不適合賽車\(C\)。
小\(L\)對遊戲有一些特殊的要求，這些要求可以用四元組\((i,h_i,j,h_j)\)來描述，表示若在第\(i\)場使用型號為\(h_i\)的車子，則第\(j\)場遊戲要使用型號為\(h_j\)
你能幫小\(L\)選擇每場遊戲使用的賽車嗎？如果有多種方案，輸出任意一種方案。如果無解，輸出"-1"（不含雙引號）。
輸入輸出格式
輸入格式：
輸入第一行包含兩個非負整數\(n,d\)。
輸入第二行為一個字串\(S\)。\(n,d,S\)的含義見題目描述，其中\(S\)包含\(n\)個字元，且其中恰好\(d\)個為小寫字母\(x\)。
輸入第三行為一個正整數\(m\)，表示有\(m\)條用車規則。接下來\(m\)行，每行包含一個四元組\(i,h_i,j,h_j\)，其中\(i,j\)為整數，\(h_i,h_j\)為字元\(a,b\)或\(c\)，含義見題目描述。
輸出格式：
輸出一行。
若無解輸出"-1"（不含雙引號）。
若有解，則包含一個長度為\(n\)的僅包含大寫字母\(A,B,C\)的字串，表示小\(L\)在這\(n\)場遊戲中如何安排賽車的使用。如果存在多組解，輸出其中任意一組即可。
因為\(spacial\ judge\)，最後一行不要輸出回車。
輸入輸出樣例
輸入樣例#1：
3 1
xcc
1
1 A 2 B輸出樣例#1：
ABA說明
【樣例1解釋】
小\(L\)計劃進行\(3\)場遊戲，其中第\(1\)場的地圖型別是\(x\)，適合所有賽車，第\(2\)場和第\(3\)場的地圖是\(c\)，不適合賽車\(C\)。
小\(L\)希望：若第\(1\)場遊戲使用賽車\(A\)，則第\(2\)場遊戲使用賽車\(B\)。那麼為這\(3\)場遊戲分別安排賽車\(A,B,A\)可以滿足所有條件。若依次為\(3\)場遊戲安排賽車為\(BBB\)或\(BAA\)時，也可以滿足所有條件，也被視為正確答案。但依次安排賽車為\(AAB\)或\(ABC\)時，因為不能滿足所有條件，所以不被視為正確答案。
思路
這道水題怎麼還是黑的？ --huyufeifei
調了一晚上這道題，真的毒瘤。
我們先不考慮\(x\)地圖，那麼剩餘的地圖每種只有兩輛賽車可跑。再根據題目給的約束條件，我們就可以用\(2-SAT\)來解決這個問題。
那麼帶上\(x\)地圖怎麼辦呢？既然\(d\)很小，那我們就暴力列舉！把\(x\)地圖強行換成\(a,b,c\)中的一張，再來判斷是否可行。最終複雜度為\(O(3^dm)\)，顯然很爆炸。考慮到如果我們只列舉\(a,b\)，其實就可以覆蓋\(x\)地圖可以使用\(A,B,C\)三種賽車的條件，那就不列舉\(c\)好了。最終時間複雜度\(O(2^dm)\)。
我在做這題時出現了很多問題，除錯了很久，列舉如下：
- 因為每張地圖對應的賽車不同，所以不同地圖在\(2-SAT\)中的兩個取值完全不同，要注意區分。
- 建邊時要建兩條邊。對於如果\(a\)那麼\(b\)這個條件，不能只建邊\((a,b)\)，還要建邊\((b+n,a+n)\)（想一想為什麼）。
- 暴力列舉不要打掛（沒錯，我因為打掛了暴力調了好久）。
AC程式碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MAXN=2e5+5,MAXM=4e5+5;
LL n,d,m,tot,js,dfn[MAXN],low[MAXN],bel[MAXN];
LL x[MAXM],y[MAXM];
LL cnt,top[MAXN],to[MAXM],nex[MAXM];
string str;
char xx[MAXM],yy[MAXM];
bool vis[MAXN];
stack<LL>S;
LL read()
{
bool f=true;LL re=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=false;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return f?re:-re;
}
void add_edge(LL x,LL y){to[++cnt]=y,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;}
char fst(char y)
{
if(y=='A') return 'B';
else if(y=='B') return 'C';
else if(y=='C') return 'A';
}
char scd(char y)
{
if(y=='A') return 'C';
else if(y=='B') return 'A';
else if(y=='C') return 'B';
}
void tarjan(LL now)
{
dfn[now]=low[now]=++tot,vis[now]=true,S.push(now);
for(LL i=top[now];i;i=nex[i])
if(!dfn[to[i]]) tarjan(to[i]),low[now]=min(low[now],low[to[i]]);
else if(vis[to[i]]) low[now]=min(low[now],dfn[to[i]]);
if(dfn[now]==low[now])
{
bel[now]=++js,vis[now]=false;
while(S.top()!=now) bel[S.top()]=js,vis[S.top()]=false,S.pop();
S.pop();
}
}
bool check()
{
cnt=tot=js=0;
memset(dfn,0,sizeof dfn);
memset(top,0,sizeof top);
for(LL i=1;i<=m;i++)
{
char f1=fst(str[x[i]]),s1=scd(str[x[i]]),f2=fst(str[y[i]]),s2=scd(str[y[i]]);
if(xx[i]==str[x[i]]) continue;
else if(yy[i]==str[y[i]])
{
if(xx[i]==f1) add_edge(x[i],x[i]+n);
else if(xx[i]==s1) add_edge(x[i]+n,x[i]);
}
else if(xx[i]==f1&&yy[i]==f2) add_edge(x[i],y[i]),add_edge(y[i]+n,x[i]+n);
else if(xx[i]==f1&&yy[i]==s2) add_edge(x[i],y[i]+n),add_edge(y[i],x[i]+n);
else if(xx[i]==s1&&yy[i]==f2) add_edge(x[i]+n,y[i]),add_edge(y[i]+n,x[i]);
else if(xx[i]==s1&&yy[i]==s2) add_edge(x[i]+n,y[i]+n),add_edge(y[i],x[i]);
}
for(LL i=1;i<=(n<<1);i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(LL i=1;i<=n;i++) if(bel[i]==bel[i+n]) return false;
for(LL i=1;i<=n;i++)
if(bel[i]<bel[i+n]) putchar(fst(str[i]));
else putchar(scd(str[i]));
return true;
}
bool dfs(LL now,LL hjj)
{
if(hjj==d)
{
if(check()) return true;
return false;
}
while(str[now]!='X') now++;
str[now]='A';
if(dfs(now+1,hjj+1)) return true;
str[now]='B';
if(dfs(now+1,hjj+1)) return true;
str[now]='X';
return false;
}
int main()
{
cin>>n>>d;
cin>>str;str=" "+str;
for(LL i=1;i<=n;i++) str[i]=toupper(str[i]);
cin>>m;
for(LL i=1;i<=m;i++) cin>>x[i]>>xx[i]>>y[i]>>yy[i];
if(!dfs(1,0)) printf("-1");
return 0;
}