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• Daizhenyang's Coin HDU - 3537

Daizhenyang’s Coin HDU - 3537

題意： 若干個個硬幣排成一排，其中有n個是正的，其它都是反的，每一次你可以選擇1,2,3 個進行反轉，但是最右邊的硬幣必須是從正面到反面
SG函式可以用來求組合博弈問題

1. 博弈的人數是兩個
2. 有限步內結束
3. 每個狀態的勝負與人無關

本題是Game theory 論文裡面例題
首先由x1,x2,x3 位置的硬幣為正，那麼他們滿足 $S$

G ( x 1 , x 2 , x

3 ) = S g ( x 1 ) ⊕ S G ( x 2 ) ⊕ S G ( x 3 ) SG(x_1,x_2,x_3) = Sg(x_1 )\oplus SG(x_2) \oplus SG(x_3)

怎麼求SG(x) 的值呢
經過打表發現SG(x) 的函式值不是2x+1,就是2x,這個規律是什麼呢？

position x : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...
g(x) : 		 1 2 4 7 8 11 13 14 16 19 21 22 25 26 28 ... 

定義兩個數,暫且稱之為 O( odious )，E(evil)，
O: 代表x的二進位制表達裡面有奇數個1
E: 代表x的二進位制表達裡面有偶數個1

有一些特殊的庫函式用G++編譯的時候支援以下操作
__builtin_parity(a) 直接返回a的二進位制表達中1的個數的奇偶性，如果有奇數個，返回1，否則返回0

O，E有以下運演算法則
$O \oplus O = E,E \oplus E = E$
$O \oplus E = O, E \oplus O = O$
我們發現SG(x) 的值是第x個O數
結論如下：

1. 如果2 * x是O數，SG函式值為2*x
2. 如果2 * x是E數， SG函式值是2*x+1

證明：

沒有硬幣是正的，終止態，SG = 0，是E數
最左邊的硬幣（位置從0開始）是的正的 $SG(0）= 1$，是O數
假設對於前x的個數滿足證明，對於第x個數的SG值
選擇反轉一個硬幣到終止態SG(0) = 0
選擇反轉兩個硬幣，則可以轉移到 $SG(1),SG(2),SG(3)......SG(x-1)$，是小於2x的所有O數
選擇反轉三個硬幣，是 $SG(i)\oplus SG(j) \quad i != j \quad i ,j < x$，是小於等於2x的所有E數
所以有結論

1. 如果2 * x是O數，SG函式值為2*x
2. 如果2 * x是E數， SG函式值是2*x+1

參考程式碼

int main(void)
{
   int n;
   while(cin>>n){
      int sum = 0;
      map<int,int> ma;
      for(int i = 0;i < n; ++i){
         int a;
         scanf("%d",&a);
         if(ma[a]) continue;
         ma[a] = 1;
         if(__builtin_parity(2*a))
            sum ^= 2*a;
         else
            sum ^= 2*a+1;
      }
      if(sum == 0)
         puts("Yes");
      else
         puts("No");
   }
    

   return 0;
}